怎样解题
出版社:上海科技教育出版社
出版日期:2007-5
ISBN:9787542843876
作者:[美] G. 波利亚
页数:213页
作者简介
《怎样解题:数学思维的新方法》是一本经久不衰的畅销书出自一位著名数学家的手笔，虽然它讨论的是数学中发现和发明的方法和规律，但是对在其他任何领域中怎样进行正确思维都有明显的指导作用。本书围绕“探索法”这一主题，采用明晰动人的散文笔法，阐述了求得一个证明或解出一个未知数的数学方法怎样可以有助于解决任何“推理”性问题——从建造一座桥到猜出一个字谜。一代又一代的读者尝到了本书的甜头，他们在本书的指导下，学会了怎样摒弃不相干的东西，直捣问题的心脏。
书籍目录
第一部分 在教室里
目的
1.帮助学生
2.问题，建议，思维活动
3.普遍性
4.常识
5.教师和学生，模仿和实践
主要部分，主要问题
6.四个阶段
7.理解题目
8.例子
9.拟订方案
10.例子
11.执行方案
12.例子
13.回顾
14.例子
15.不同的方法
16.教师提问的方法
17.好问题与坏问题
进一步的例子
18.一道作图题
19.一道证明题
20.一道速率题
第二部分 怎样解题
一段对话
第三部分 探索法小词典
类比
辅助元素
辅助题目
波尔察诺
出色的念头
你能检验这个结果吗？
你能以不同的方式推导这个结果吗？
你能应用这个结果吗？
执行
条件
矛盾
推论
你能从已知数据中得出一些有用的东西吗？
你能重新叙述这道题目吗？
分解和重组
定义
笛卡儿
决心、希望、成功
诊断
你用到所有的已知数据了吗？
你知道一道与它有关的题目吗？
画一张图
检验你的猜想
图形
普遍化
你以前见过它吗？
这里有一道题目和你的题目有关
而且以前解过
探索法
探索式论证
如果你不能解所提的题目
归纳与数学归纳
创造者悖论
条件有可能满足吗？
莱布尼茨
引理
观察未知量
现代探索法
符号
帕普斯
拘泥与变通
实际题目
求解题、证明题
进展与成绩
谜语
归谬法与间接证明
多余
常规题目
发现的规则
格式的规则
教学的规则
将条件的不同部分分开
建立方程
进展的标志，
特殊化
潜意识活动
对称性
新旧术语
量纲检验
未来的数学家
聪明的解题者
聪明的读者
传统的数学教授
变化题目
未知量是什么？
为什么证明？
谚语的智慧
倒着干
第四部分 题目、提示、解答
题目
提示
解答
注释
内容概要
波利亚（George
Polya，1887—1985），著名美国数学家和数学教育家。生于匈牙利布达佩斯。1912年获布达佩斯大学博士学位。1914年至1940年在瑞士苏黎世工业大学任数学助理教授、副教授和教授，1928年后任数学系主任。1940年移居美国，历任布朗大学和斯坦福大学的教授。1976年当选美国国家科学院院士。还是匈牙利科学院、法兰西科学院、比利时布鲁塞尔国际哲学科学院和美国艺术和科学学院的院士。其数学研究涉及复变函数、概率论、数论、数学分析、组合数学等众多领域。1937年提出的波利亚计数定理是组合数学的重要工具。长期从事数学教学，对数学思维的一般规律有深入的研究，这方面的名著有《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》等，它们被译成多种文字，广为流传。
章节摘录
4.如果没有一道以前解过的题目，它和所提的题目有相同未知量，那么我们就没有上面所述的这种有利条件了。在这种情况下，要解决所提的题目就困难得多。 “已知一个球的半径，求它的表面积。”这道题目是由阿基米德（Archimedes）解决的。几乎没有什么更为简单的题目和它有相同的未知量，当然也就没有这样一道较简单的题目可供阿基米德利用。事实上，阿基米德的解答可以认为是最显著的数学成就之一。 “已知一个四面体的六条棱，求它的内接球的表面积。”如果我们知道阿基米德的结果，那么我们并不需要阿基米德那样的天才就可以解决这道题目；要做的就是把这个内接球的半径用该四面体的六条棱表示出来。这不太容易，但这种困难无法和阿基米德的题目相比。 知道还是不知道一道以前解过的有相同未知量的题目，也许这就构成了一道容易的题目和一道难题之间的全部差别。 5.如我们刚才所说，阿基米德在求球的表面积时，并不知道任何以前解过的有相同未知量的题目。但他知道各种以前解过的有着相似未知量的题目。有一些曲面的面积比球面积容易求出，它们在阿基米德时代就已经为人们所熟知了，如正圆柱体、正圆锥体和正圆台的侧面积。我们可以肯定，阿基米德仔细地考虑了这些简单而相似的例子。事实上，在他的解答中，他作了一个近似，把球作为由两个圆锥和几个圆台组合而成（见定义，6）。 如果我们找不到一道和我们眼前的题目有相同未知量的以前解过的题目，我们就尝试去找一道有相似未知量的题目。与前面的这种题目相比，后面的这种题目与我们眼前的题目的联系没那么紧密，因此一般来说，也比较不易为我们所提出的题目所利用，但它们仍然可能成为有价值的向导。 6.我们就“证明题”再加几条说明，它们和前面对于“求解题”的一些更为广泛的评注相类似。我们必须证明（或推翻）一个清楚陈述的定理。任何一个以前证明过的定理，只要它和我们眼前要证的定理有关，它就有机会提供帮助。然而我们可能期待的是那些和我们眼前的定理有相同结论的那些定理所能提供的最直接的帮助。知道了这个，我们观察结论，也就是说，我们在考虑这个题目时着重在结论上。一种观察该定理的方式可以写成下面的形式： “如果……，那么这些角相等。” 我们把注意力集中在我们眼前的这个结论上，并试图想起一条有相同或相似结论的熟悉定理。特别是，我们试图想起这样类型的一些十分简单而熟悉的定理。 在我们的例子中，有各种类型的定理，我们也许会回忆起下面这条：“如果两个三角形全等，则其对应的角相等。”这里有一条定理和你要证的定理有关，而且以前已证明过了。你能应用它吗？为了有可能应用它，你是否应该引入某个辅助元素？ 遵照这些建议，并尝试判断我们回忆起的定理所能够提供的帮助，我们也许会构思出这样一个方案：让我们尝试通过三角形全等来证明题中的这些角相等。我们意识到，必须引进一对包含这些角的三角形并证明其全等。这样的一个方案对于开始工作肯定是好的，它也可能最后导致我们所要的目的，如第一部分第19节所述。 ……
图书封面
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精彩书评 (总计19条)
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生活本来就是面临在我们面前的一道题目，所以生活的过程就是解题的过程。我想这是波利亚这本书对我的最大启示，对于一个问题的求解，我想，作为大学生，其实我们已经有了很深入的了解，大多数人是这样认为的，但是这对吗？关于问题的求解步骤我们很少去认真的关心，求解方法的来源更加是没有时间去想，我们通常的做法只是去接受知识，却没有认真学会那个解题的步骤。以致于当我们遇到一个陌生的情况时，就是手中无措，只是因为我们没有跳过表象去发现它背后问题的实质。还有一点值得注意，那就是当你将一个问题解答出来后，其实还有很多的工作——那就是总结，总结你对解决这个问题的思路，它将来有可能用到的用途，与原来学到知识的关联。其实这是很重要的一步，是你能否得到进一步提升的关键，但是以前似乎从来没有关心，以后要转换学习与解题的方法了。 -
我的数学一直挺烂。从高中起我就一直迷惑：那些数学家们，他们当年解那些题目的时候，到底怎么想出来的？为什么他们会那么想？看了《怎样解题》，这种疑惑才真正得到冰释。数学家们也不都是天马行空或是鬼神附体，解决问题还是有一定的方法。而且个人认为，这些方法并不是只适用于数学。前一阵去北京某个比较出名的地方去DEBUG，原因是我们的IP设备开机后以及插拔网线后连接十分缓慢。大家在公司里对该问题作了各种各样的猜测。有猜测TCP连接处理部分代码有问题的，有怀疑卫通不可靠的，还有怀疑TCP协议栈的，甚至有怀疑使用TCP的设计已经走歪了路。我到北京的时候，除了衣服、电脑和《心经》之外，就带着这本《怎样解题》。到了的第一天已经晚上，发现经过卫通的网络并没有想象的慢。而且TCP连接本身也很迅速。当时比较怀疑代码。第二天继续，到了下午还没什么头绪，我心里默念着《怎样解题》里的第一点：弄清题意，弄清题意！快到晚饭的时候终于想明白，题目是什么——其实题目并不是TCP连接缓慢，而是插拔网线或开关机后，网络子系统恢复得慢！通过两个手段印证了自己对题目的思路，首先kill掉设备的主要进程再启动，发现连接迅速，证明TCP连接不慢。接着用两台跑XP的PC从一个网段ping另一个网段（服务器所在网段），拔掉网线后插上，发现恢复需要30秒。后来这个问题在修改了接入交换机的配置后解决。如果没有《怎样解题》，或许我还会在题目的层面兜许多圈子。总体来讲，这本书很值得一读。尤其是对解决问题的方法论有一定兴趣的人。 -
1. 一只熊从 P 点出发，向正南走一英里，然后向正东走一英里，再向北走一英里，此时它正好回到出发点 P. 请问这只熊是神马颜色的？白色。2. Bob 有 10 个口袋和 44 枚硬币，他想把这些硬币分配到这些口袋里去，使得每个口袋中的硬币数都不相同。他能做到吗？不能。3. 为了给一本厚书标页码，印刷工人用了 2989 个数字。这本书有多少页？10244. 一张古老的账单：火鸡：72只，$_67.9_表示家禽总价数的第一位和最后一位褪色了，用下划线代替。请问两个褪色的数字是什么？每只火鸡的价格是多少？3，2，5.115. 已知一个正六边形和一个它所在平面外一点，试过此点作一直线将这个六边形分成面积相等的两个部分。过六边形的中心即可。
精彩短评 (总计101条)
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高中数学老师极力推荐这本，说看完这本，高中数学、奥数全部能够迎刃而解，然而我当时没看。现在看来已经没什么味道了。曾经在实习的时候将他提出的解题步骤贴在桌前备忘，但发现并没什么卵用。 -
我们上的数学课都是什么鬼东西 -
高中的第一位数学老师推荐的。阅读时发现这本书非常啰嗦，在我平时解决问题时几乎都用到书中的方法论，所以在阅读的时候觉得十分平淡…但还是感谢那位数学老师，她上课时候潜移默化地影响着我们的思考方法，这种方法和书中的如出一辙。从那以后再也没有遇到如此循循善诱的老师了。 -
作为全世界范围内的经典，这本书的内容肯定是没话说的。赞一个。不是第一次接触外国的数学方面的著作，刚开始读的时候可能会觉得有些地方有点拗口，但是等读通之后你会发现恍然大悟，算是清晰易懂，个人觉得你看中国的各种解题策略的书，还不如看看这本，好好研究，这本书的指导意义可是终身的。而且在看的时候结合自身的一些情况，你会发现其实很多都是你的自身说不出口的一些经验，再科学的修正你的潜意识解题经验，长时间一定会有收获的。个人觉得学生和老师都应该很适用吧。点32个赞。 -
数学发现，怎样解题，数学与猜想，读了受益匪浅 -
波利亚太有名的，一直崇拜，所以先收藏 -
要是我在高中的时候读一下这本书的话，数学成绩就会更好啦。但是最关键的是解决问题的思路是通用的。 -
作为一个高中生，我表示这东西对我的帮助不是一般的大。 -
收获很少 -
中学读的 -
要是从初中开始看就好了 -
谢了很好的数学方法。 -
大学才知道这个，应该作为初中的必读参考书 -
中学生就能看了，对思维、解题很有帮助。 -
孩子看着有点深。我先看了看，采用自问自答的方式讲题，仿佛在课堂上听课。作者不愧是数学家，思维缜密，条理清晰。不仅对学习数学有帮助，还能锻炼思维，提高解决问题的能力。 -
万万没想到，在放下《高等数学》和《线性代数》后的有生之年，能再拿起一本有关数学的书，还作为娱乐性研读…人生真是充满不可思议… -
为了能给儿子辅导数学，为了补中小学学数学欠下的债。还没有来得及细读，感觉书还不错，写的很简练，中学数学老师应必备。初中以后的学生阅读比较合适。 -
本书围绕“探索法”这一主题，采用明晰动人的散文笔法，阐述了求得一个证明或解出一个未知数的数学方法怎样可以有助于解决任何“推理”性问题——从建造一座桥到猜出一个字谜。 -
数学 什么··· -
学校老师推荐的，不愧为数学大师著作。对初一孩子来说，比较枯燥 -
数学老师推荐的，感觉能开拓思路 -
说实话，相比于这本书我更喜欢数学与猜想。有兴趣的同学或者不喜欢看一些数学公式的人看这本可能接受更好一些 -
这本书无疑值得任何一个想提升解题能力的人来阅读，我甚至觉得，我们能在这本书上找到一些解决问题的普遍原则，这些问题并不单指数学问题，我觉得还包括怎样学习＆怎样解决生活中的问题。
在书的最开头，作者列出了解题步骤的简单表，我觉得这是这本书最有价值的地方。每个读这本书的人都应该对这个解题表烂熟于心，由此来指导自己解题，肯定会事半功倍。 -
这类书嘛，说实话，看了和没看其实差不多…… -
数学大家波利亚对怎样解题给出了详细的分析。 -
很不错的数学科普书籍 -
当初高中一对一全科目家教时买的参考书，读完之后直想把自己之前的大部分数学老师腿打折。 -
总结的很全面仔细，尤其是对数学问题的分析处理，当然要能做到每个问题都能如此分析，还得有深厚的积累，长期的训练！ -
经典数学思维书，系统、实用，可操作性极强 -
数学不好的人很适合 不过太过专业名词 -
浏览了一下，没看进去 -
第一部分抽象的数学思维和方法对我有很大帮助，后面的例子需要自己进行概论和抽象，作用反而不大。总体而言，对提高数学思维品质有一定帮助。 -
把它变为吃饭工具书吧 -
对思考过程的思考，探索法本质就是类比联想，发散思维，近似论证。最后的习题对我来说不简单，特别是最后两题不是一目了然的，需要有明确的方向，加上自信和毅力才能得出清新的思路。 -
有所帮助 -
大师之作！ -
依旧并长期处于不懂状态 -
数学经典著作，粗略看了一下，很好的书，很期待哦。数学经典著作，粗略看了一下，很好的书，很期待哦。数学经典著作，粗略看了一下，很好的书，很期待哦。数学经典著作，粗略看了一下，很好的书，很期待哦。数学经典著作，粗略看了一下，很好的书，很期待哦。数学经典著作，粗略看了一下，很好的书，很期待哦。数学经典著作，粗略看了一下，很好的书，很期待哦。数学经典著作，粗略看了一下，很好的书，很期待哦。数学经典著作，粗略看了一下，很好的书，很期待哦。数学经典著作，粗略看了一下，很好的书，很期待哦。数学经典著作，粗略看了一下，很好的书，很期待哦。数学经典著作，粗略看了一下，很好的书，很期待哦。数学经典著作，粗略看了一下，很好的书，很期待哦。数学经典著作，粗略看了一下，很好的书，很期待哦。数学经典著作，粗略看了一下，很好的书，很期待哦。数学经典著作，粗略看了一下，很好的书，很期待哦。数学经典著作，粗略看了一下，很好的书，很期待哦。数学经典著作，粗略看了一下，很好的书，很期待哦。数学经典著作，粗略看了一下，很好的书，很期待哦。数学经典著作，粗略看了一下，很好的书，很期待哦。数学经典著作，粗略看了一下，很好的书，很期待哦。数学经典著作，粗略看了一下，很好的书，很期待哦。数学经典著作，粗略看了一下，很好的书，很期待哦。数学经典著作，粗略看了一下，很好的书，很期待哦。数学经典著作，粗略看了一下，很好的书，很期待哦。数学经典著作，粗略看了一下，很好的书，很期待哦。 -
波利亚经典书籍，还没看，应该不会错 -
不仅仅针对数学，对任何问题的解决都提供很好的解决方案，推荐给大家。 -
我就是这样的啊，没有启发 -
#名气这么大于我却真无用，当然或许多年以后会发现：这弱智的大白话原来是返璞归真吧#谈解题的四个步骤：理解题目、提出方案、执行方案、检验，解题实质是：如何利用已知建立到需知的决策树，怎样解题的实质是：如何利用类比、演绎和探索法去勾连桥梁。明白条件、已知、未知、需知，将问题重新转化、简化、类比、等价辅助、构造中间问题，方法上注重检验、定义，总之，政治正确，大而无用。ps：他应该通过这些方法发现自己的好恶、趣味以及自己的思路；一个聪明的数学读者应该1看到论证的当前一步是正确的，2看到当前这一步的目的；一道速率题：给出的给中速率表示成微分形式，求导时含有未知量的一定要表示为未知量的形式。 -
提供了不少解题分析的思路，但是对我来说新鲜的不多，最多算把以前读书的一些解题感觉找到了。整本书介绍思想论和历史的成分更多些。 -
在看，试试数学思维方面的著作 -
方法好，有助于解题。 -
曾经在刊物上学习到波利亚的解题策略，并且写到文章中。今天，终于见到原版了。此书值得我们每一位数学教师学习。 -
数学大家的思想，句句经典 -
看看 -
幸好读了这本书，不然真是愧对学生。 -
微言大义 -
不是学数学的就别买了，太太太专业的书了！ -
波利亚的怎样解题语言精简，能很好的解释数学思维。 -
读过 -
波利亚的著名作品，对学习数学的人应该有所帮助 -
一般性思维方法。 -
你想学好数学吗？请先阅读他！ -
非常经典的书，每个学数学的都应该看看 -
怎样解题--数学思维的新方法(发现数学丛书)好 -
对培养解题思路，会有很好的作用，值得一学。 -
典型的方法论书籍 -
目标读者应该是中学生 -
这本书很好的地方是教我们应该怎样解题，提供的是一种思路，很不错 -
小学生也可以阅读此书，提高学习数学的方法和思维。 -
不仅仅应用数学，为一切皆可有验 -
数学老师必读啊 -
此书超值得！波利亚的精品！ -
通读一遍，突然发现当学生真好，因为做到的题大都是有解的。
而真正的数学问题中，判断一个问题的解是否存在，可能就会花掉无数英才的毕生精力。
明年高考，新学期愿望是--不贰过（貌似说出来就不灵了(╯°Д°）╯︵/(.□ . ) -
怎样解题--数学思维的新方法(发现数学丛书)，对以后数学教学很有帮助 -
作为数学老师第一次买这本书真是有点过分，本书应该好好研读。 -
之前就看过电子版的，还是忍不住要买实体书。内容作者就不要说了，这种思维活动的书应该大量的阅读，这种精品真的非常少。值得一生阅读。 -
这是一本关于解题思路的书，非常理性，实用。。。。。。值得一看！ -
高中数学老师推荐 -
启发式源头之一 -
要是上学的时候能读到就好了 -
我买了一套数学书，这本书还没来得及看啊~~~ -
孩子看着有点深。我先看了看，采用自问自答的方式讲题，仿佛在课堂上听课。作者不愧是数学家，思维缜密，条理清晰。不仅对学习数学有帮助，还能锻炼思维，提高解决问题的能力 -
数学包括理解与应用。解题有大量套路，记住算法步骤与其中的概念，日常解题即一帆风顺。等遭遇难题，才发现对涉及到的数学意义、逻辑联系及背景问题的完全忽略。微积分中牵涉到的精细思维，与代数中牵涉到结构思维，重新捡起来才有如此感叹。 -
都是套路... -
不错。波利亚先生的经典著作。 -
适合当教师的读。 -
惊人的发现解数学题跟想创意的方法有好多可借鉴之处 -
补标；同学送的，内容不错，但对我过于简单 -
M -
每一句话都可以演绎联想出很多东西，感觉这本书得看很多遍，在实际中碰到问题后看这本书可能会有更多的感悟，我认为这本书很多内容我都没有看透彻。还是得学习，提高自己的知识水平~ -
讲的更多的是一些思考的方式 -
讲解解题思路的书是非常罕见的。 -
不得不承认自己的孤陋寡闻：这本是我读到的大师的第一本书。很喜欢，从封面到文字到内容。有机会还会入手大师的其它作品，如《数学与猜想》。尽管已经买了另一版本，但还是觉得不该错过大师这版。多读书，读好书，人生才会有意义。 -
探索法不仅用于解数学题，他同样可以用来解人生的题目，在书中一个重要观点，在解题步骤中思路是最重要的，思路的来源主要为过去经验而这些经验和反思，想要在脑海中呈现就需要回顾 -
作者给出了解题方法的最佳实践，如在解题过程中反复问自己几个问题：已知量是什么？观察未知量，并找出一道解过的有相同未知量的题。如果找不到尝试变换题目，引入辅助元素 -
是一本把数学解题思路书面系统化的成果，草草看完对于现在的我帮助不大，里面提到的方法能有不少我已经在应用的，也不能很好地把这些方法延伸到生活中的问题解决。或许对于中学生会有较大的帮助。 -
经典，勿庸置疑，对于锻炼思维，培养数学修养很有好处，后面的章节分析部分值得好好把玩。 -
数学思维的引导良师 -
本科时读过
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如果能够早点读，成绩会好很多，最重要的是学会联想，就像那个立方体的题目，不断的自我拓展。 -
书里的内容简单易懂，对我们怎样解题给出了操作步骤，很不错 -
“对你所不理解的问题作出答复是愚蠢的。为你所不希望的目标工作是悲哀的。”—— Polya -
这本书对我而言，主要帮助我系统化了解题思路。仔细想想，这本书的内容我其实都知道，但缺乏系统使我在平常考试中却没办法使用。
如果说这本书有何缺点，那就应该是所举例题太简单了吧！ -
如当头棒喝，原来是这样解题的，书白学了。推荐老师认真阅读，培养出具有科学思想的方法的人才！ -
关于解题思路的研究，非常好的一本书！ -
讲解了许多有关解数学题方面的方法及思路，很有启发性！ -
啰里啰嗦