什么是数学
出版社:复旦大学出版社
出版日期:2005-5
ISBN:9787309044546
作者:[美] R·柯朗 H·罗宾 著,I·斯图尔特 修订
页数:584页
作者简介
《什么是数学》既是为初学者也是为专家，既是为学生也是为教师，既是为哲学家也是为工程师而写的。它是一本世界著名的数学科普读物。书中搜集了许多经典的数学珍品，给出了数学世界的一组有趣的、深入浅出的图画，对整个数学领域中的基本概念与方法，做了精深而生动的阐述。
I·斯图尔特增写了新的一章，以新的观点阐述了数学的最新进展，叙述了四色定理和费马大定理的证明等。这些问题是在柯朗与罗宾写书的年代尚未解决，但现在已被解决了的。
书籍目录
什么是数学
第1章 自然数
引言
§ 1 整数的计算
§ 2 数系的无限性 数学归纳法
第1章 补充 数论
引言
§ 1 素数
§ 2 同余
§ 3 毕达哥拉斯数和费马大定理
§ 4 欧几里得辗转相除法
第2章 数学中的数系
引言
§ 1 有理数
§ 2 不可公度线段 无理数和极限概念
§ 3 解析几何概述
§ 4 无限的数学分析
§ 5 复数
§ 6 代数数和超越数
第2章补充 集合代数
第3章 几何作图 数域的代数
引言
第1部分 不可能性的证明和代数
§ 1 基本几何作图
§ 2 可作图的数和数域
§ 3 三个不可解的希腊问题
第2部分 作图的各种方法
§ 4 几何变换 反演
§ 5 用其他工具作图 只用圆规的马歇罗尼作图
§ 6 再谈反演及其应用
第4章 射影几何 公理体系 非欧几里得几何
§ 1 引言
§ 2 基本概念
§ 3 交比
§ 4 平行性和无穷远
§ 5 应用
§ 6 解析表示
§ 7 只用直尺的作图问题
§ 8 二次曲线和二次曲面
§ 9 公理体系和非欧几何
附录
高维空间中的几何学
第5章 拓扑学
引言
§ 1 多面体的欧拉公式
§ 2 图形的拓扑性质
§ 3 拓扑定理的其他例子
§ 4 曲面的拓扑分类
附录
第6章 函数和极限
引言
§ 1 变量和函数
§ 2 极限
§ 3 连续趋近的极限
§ 4 连续性的精确定义
§ 5 有关连续函数的两个基本定理
§ 6 布尔查诺定理的一些应用
第6章补充 极限和连续的一些例题
§ 1 极限的例题
§ 2 连续性的例题
第7章 极大与极小
引言
§ 1 初等几何中的问题
§ 2 基本极值问题的一般原则
§ 3 驻点与微分学
§ 4 施瓦茨的三角形问题
§ 5 施泰纳问题
§ 6 极值与不等式
§ 7 极值的存在性 狄里赫莱原理
§ 8 等周问题
§ 9 带有边界条件的极值问题 施泰纳问题和等周问题之间的联系
§ 10 变分法
§ 11 极小问题的实验解法 肥皂膜实验
第8章 微积分
引言
§ 1 积分
§ 2 导数
§ 3 微分法
§ 4 莱布尼茨的记号和“无穷小”
§ 5 微积分基本定理
§ 6 指数函数与对数函数
§ 7 微分方程
第8章补充
§ 1 原理方面的内容
§ 2 数量级
§ 3 无穷级数和无穷乘积
§ 4 用统计方法得到素数定理
第9章 最新进展
§ 1 产生素的公式
§ 2 哥德巴赫猜想和孪生素数
§ 3 费马大定理
§ 4 连续统假设
§ 5 集合论中的符号
§ 6 四色定理
§ 7 豪斯道夫维数和分形
§ 8 纽结
§ 9 力学中的一个问题
§ 10 施泰纳问题
§ 11 肥皂膜和最小曲面
§ 12 非标准分析
附录 补充说明 问题和习题
算术和代数
解析几何
几何作图
射影几何和非欧几何
拓扑学
函数、极限和连续性
极大与极小
微积分
积分法
参考书目1
推荐阅读（参考书目2）
编辑推荐
《西方数学文化理念传播译丛：什么是数学（第三版）》是“对整个数学领域中的基本概念及方法的透彻清晰的阐述。” A·爱因斯坦 本书既是为初学者也是为专家，既是为学生也是为教师，既是为哲学家也是为工程师而写的。《什么是教学》是一本数学经典名著，它搜集了许多闪光的数学珍品，它们给出了数学世界的一组有趣的、深入浅出的图画。本书传至今日，又由Ｉ·斯图尔特增写了新的一章。此第二版以新的观点阐述了数学的最新进展，叙述了四色定理和费马大定理的证明等。这些问题是在柯朗与罗宾写书的年代尚未解决，但现在已被解决了的。 一个光辉的文献故事，《什么是数学》开启了一扇认识数学世界的窗口。 “毫无疑问，这本书将会有深远的影响，它应当人手一册，无论是专业人员抑或是愿意做科学思考的任何人。” 纽约时报 “一本极为完美的著作。” 数学评论 “太妙了……这本书是巨大愉快和满足感的源泉。” 应用物理杂志 “这本书是一部艺术著作。” M·莫尔斯 “这是一本非常完美的著作。……被数学家们视作科学的鲜血的一切基本思路和方法，在《什么是数学》这本书中用最简单的例子使之清晰明了，已经达到令人惊讶的程度。”
前言
这本书是一本数学经典名著，它收集了许多闪光的数学珍品．它的目标之一是反击这样的思想："数学不是别的东西，而只是从定义和公理推导出来的一组结论，而这些定义和命题除了必须不矛盾外，可以由数学家根据他们的意志随意创造．"简言之，这本书想把真实的意义放回数学中去．但这是与物质现实非常不同的那种意义．数学对象的意义说的是"数学上不加定义的对象之间的相互关系以及它们所遵循的运算法则"．数学对象是什么并不重要，重要的是做了什么、这样，数学就艰难地徘徊在现实与非现实之间；它的意义不存在于形式的抽象中，也不存在于具体的实物中．对喜欢梳理概念的哲学家，这可能是个问题，……
内容概要
R·柯朗（Richard Courant）是20世纪杰出的数学家，哥廷根学派重要成员。他生前是纽约大学数学系和数学科学研究院的主任，该研究院后被重命名为柯朗数学科学研究院。他写的书《数学物理方程》为每一个物理学家所熟知；而他的《微积分学》已被认为是近代写得最好的该学科的代表作。
H·罗宾（Herbert Robbins）是新泽西拉特杰斯大学的数理统计教授。
I·斯图尔特（Ian Stewart）是沃里克大学的数学教授，并且是《自然界中的数和上帝玩色子游戏吗》一书的作者；他还在《科学美国人》杂志上主编《数学娱乐》专栏；他因使科学为大众理解的杰出贡献而在1995年获得了皇家协会的米凯勒法拉第奖章。
媒体关注与评论
本书是“对整个数学领域中的基本概念及方法的透彻清晰的阐述。” A·爱因斯坦 本书既是为初学者也是为专家，既是为学生也是为教师，既是为哲学家也是为工程师而写的。《什么是教学》是一本数学经典名著，它搜集了许多闪光的数学珍品，它们给出了数学世界的一组有趣的、深入浅出的图画。本书传至今日，又由Ｉ·斯图尔特增写了新的一章。此第二版以新的观点阐述了数学的最新进展，叙述了四色定理和费马大定理的证明等。这些问题是在柯朗与罗宾写书的年代尚未解决，但现在已被解决了的。 一个光辉的文献故事，《什么是数学》开启了一扇认识数学世界的窗口。 “毫无疑问，这本书将会有深远的影响，它应当人手一册，无论是专业人员抑或是愿意做科学思考的任何人。” 纽约时报 “一本极为完美的著作。” 数学评论 “太妙了……这本书是巨大愉快和满足感的源泉。” 应用物理杂志 “这本书是一部艺术著作。” M·莫尔斯 “这是一本非常完美的著作。……被数学家们视作科学的鲜血的一切基本思路和方法，在《什么是数学》这本书中用最简单的例子使之清晰明了，已经达到令人惊讶的程度。”
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精彩书评 (总计50条)
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中国的数学教材写得差的缘由是那些学者和教授并没有真的理解他所写的东西，一句话，他们理解的不透彻，所以写不出这样的书，这不是卖弄写书技巧这种小聪明的问题。我在看前面的部分时就发觉这书好，及至看到原书第40页关于哥德巴赫猜想的叙述时作者一针见血直达本质的话一下子触动了我，我学《初等数论》时也在我所了解的范围内琢磨了 一下该猜想，得到过一些看法就是该书该页中所指出的。要是我原来很早看过这本书就好了，国内的很多教材真是害死人，既浪费人的时间，又透支人的耐心和兴趣。 -
可以说一本书浓缩了整个数学发展史和数学哲学的发展史。不仅仅讲了定理是什么，而且详细分析了为什么会有这个定理，以及这些定理在应用时的注意事项。比如讲微积分的发展过程，先是牛顿和莱布尼兹用无穷小量来解释求导的过程，之后讲到无穷小量并非一个形式化定义的量，因此无法用其来定义其他概念。于是介绍如何将取无穷小量的过程反过来，介绍了极限的概念，并用极限重新定义了微积分。而全书最后讲到模型论时，则在超实数集里重新引入无穷小量并对其形式化定义，再次用无穷小量推导出微积分的定义。看的我如醍醐灌顶一般。可惜，有些东西还是看不懂啊……Orz -
我觉得副标题非常的贴切。初等数学的脉络讲解的非常清晰，对解决问题的思想方法分析的简洁、深刻。我以为能把事情用简单的方式叙述出来都是要么非常花费功夫，要么就是领域中的大师——正如《Programming Pearls》和《 The C Programming Language》，薄薄一本书，值得翻来覆去的放在枕边读。我简要列举几例书中的有特点的地方。P87：数的连续统——不论是作为理所当然的事来接受也好，还是只有作了批判性的检查之后才接受也好——从17世纪以来成了数学，特别是解析几何和微积分的基础。这段话不仅是对数学发展史有了宏观的一个印象，而且本质上说明了这些精确定义的意义，和其他数学分支的逻辑关系。P103：希尔伯特关于数学的形式化结构的理论，本质上是基于直观方法的。即使在最纯粹的形式推导、逻辑推理或公理化方面，构造性直观总是以这种或那种方式，或明或暗地作为最活跃的因素在数学中起着作用。这是一个数学家的深刻体会，在多年经验和广泛涉猎的基础上的总结。可能作为初学者或者不是专业研究数学的人来说，这段话并不是多么重要，但是到了一定程度，必然对于柯朗的感叹会心有戚戚。即使对于初学者，这样的感叹也对于其数学思想的形成，有着良好的指引性作用。P135：直到19世纪初，意大利的Rnffini(1762-1822)和挪威的天才Abel(1802-1829)（作者可能用的伟大一词较多，数学史上星辉闪闪是应该被称道的，但是作者极少用天才一词，一个天才表达了柯朗对Abel的无限惋惜。当我读《量子物理史话》的时候，再回头看数学上的Abel，年仅27岁的天才，深同此感。）才表明了一个在当时很革命的想法，他们证明了不可能利用根式的方法解一般n次代数方程。人们必须理解清楚，问题并不是任意的n次代数方程是否有根。这个事实在1799年首先为高斯在他的博士论文中所证明。所以关于一个方程的根的存在性问题是无可怀疑的，尤其因为这些根的值能用适当的办法以任意精度计算出来。方程的数值解法的技巧当然是十分重要的，而且有了很高的发展。但是，Abel和Ruffini所说的问题完全是另一个问题：只用有理运算和根式运算是否能够求解？由于要求彻底搞清这个问题，促成了Ruffini、Abel和Galois开创的近世代数和群论的重大发展。书中，作者对于证明方法的思想进行了严密的论述，而论述之后的这个总结除了让人印象深刻之外，对于思想方法作了回顾，又提及了部分历史以及数学的发展，作者对于数学的宏观把握和感觉对于读者来说是非常有益处的。P197：首先，我们看到，在综合几何中，即使是“普通”的点和直线这样一些基本概念，在数学上也是没有给出定义的。在初等几何课本中，关于这些概念，经常能找到所谓定义只是启发式的描述而已。对于普通的几何元素，我们的直觉使我们很容易感到他们的“存在”。但在集合中——作为一个数学体系来考虑——我们实际所需要的只是某些正确的规则。借助于他们，我们能运用这些概念，…………只要能以一种清晰而不矛盾的方式阐述“无穷远点”的数学性质，即它们与“普通”点的关系以及它们彼此之间的关系，则这个新的实体在数学上就有存的意义了。…………我们现在指的不是物理的点、直线，而是几何上抽象的、概念化的点与直线。几何的点和直线有着本质上比任何物理对象更为简单的性质，而且这样的简化是把几何发展成为一个演绎科学的根本条件。P206：这样一种从强调几何直观中到强调几何的分析方面的转变，为简单而又严格地处理射影几何中的无穷远点开辟了一条道路，而且对更深刻地理解整个这门学科是必可缺少的。P225：用通常的话来说，公理体系的观点可以表述如下：在一个演绎系统中，证明一个定理就是表明这个定理是某些先前业已证明过的命题的必然逻辑结果；而这些命题的证明又要利用另一些已证明的命题，这样一直逆推上去。所以数学证明的过程是一个无限逆推的不可能完成的任务，除非在某一点停下来。P243：当黎曼作为一个学生来到哥廷根时，他发现这个大学城对这种新奇的几何思想有强烈的兴趣(他其实是去学习神学和哲学的)。他理科认识到，这是理解复变量解析函数最深刻的性质的关键。黎曼的函数理论极大地促进了拓扑学后来的发展，而且，在黎曼的理论中，拓扑的概念则是最基本的东西。P182：从这个观点出发，把它分为“综合”的和“解析”的两种方法。前一个是经典的欧几里德公理方法，其内容是建立在纯粹几何的基础上，与代数以及数的连续统的观念无关，而且定理是借助逻辑推理从成为公理或共设的一组初始命题导出的。第二个方法是在引进数值坐标的基础上，应用代数的技巧。这个方法给数学科学带来了一个深刻的变化，其结果把几何、分析和代数统一成了一个有机的系统。P205：在摄影结合的早期发展中，有这样一种强烈的倾向：把一切都建立在综合的和“纯几何”的基础上，而避免用数和代数方法。但是这种企图碰到了很大的困难，因为总有些地方看来是不可避免地需要某些代数陈述。直到十九世纪末才完全成功地建立起一个纯综合的摄影机和。但是代价比较高，因为这样一来把问题搞得相当复杂。而解析几何的方法在这方面却一直是比较成功的。在近代数学中，总的趋势是把一切都建立在数的概念的基础上。在集合中，由费马和笛卡尔开始的这种努力已经取得了决定性的胜利。解析几何，从仅仅是几何推理中的一种工具发展成这样一门学科：在这里，对运算及其结果的直观的几何解释不再是最终的、唯一的目标。几何主观更主要的是起着引导的作用，帮助启发和理解分析上的结果。几何的含义这种变化是在历史的进程中逐渐发现的，它大大地扩大了经典几何的范围，同时引起了几何和分析几乎是有机的结合。P279：在莱布尼茨以及18世纪的许多数学家看来，（柯朗没有提及牛顿，大约是非常不喜欢他。而这是有原因的，也是合理的。我学的是物理，当然更对牛顿这个人吐槽多多了。）函数关系的概念多少是指存在着表示这些关系的正确性质的数学式子。对于数学及物理上的需要来说，这种观念已证明是太狭窄了。经过了一个漫长的时期，函数概念以及和它们相关的极限感念才得到以明确和一般化。P445：但是，放弃这种愿望，而宁可在极限过程中考察它们在科学上唯一适当的定义，这通常是清楚前进中的障碍的一种成熟的态度，而在17世纪还不具备能够容纳这种哲学上的激进主义的明智的传统。P496：欧拉的形式主义的方法中最令人赞叹的结果之一，是在复数范围内正弦和余弦函数与指数函数之间的紧密联系。应当预先指出，欧拉的“证明”以及我们随后的讨论，严格来说都是没有意义的；他是典型的18世纪的形式处理方法。此外作者也不忘揶揄一些别的如P299：遗憾的是某些课本的作者故弄玄虚，它们不作充费的准备，而只是把这个定义直接向读者列出，好像作些解释就有损于数学家的身份似的。以上摘录大约表明了此书的特点。大师的作品读来令人失望的不多。这本50年前的书的重印，是对经典的致敬吧。柯朗最好的书除了这本，还有一个《数学物理方法》，他当年应该是教这门课程的？国内的教科书大多得益于这本书。书中没有大量的演算，也没有大量的定理公理，但是基础数学的几何、代数、分析都涉及到，讲解的精炼深刻，尤其注意问题的思想和发展以及影响。这使得读者能够对基础数学有一个全面的看待角度。书中也有大量的有关哲学方面的论述。数学，从哲学上来看，是形而上学的，分析问题的方法和思想是先验的。作者很少对历史上的数学家进行评价，转而只表述出某一个领域某一项创举的价值，这是一个特点。`
精彩短评 (总计101条)
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it's beautiful. -
我智商有点低。看不太懂啊 -
了解数学的本质 -
学数学是一件艰苦而又有乐趣的事情，人生总有几座高峰要你去攀登，那就把其中一个山峰定义为叫做数学吧，因为它值得你去做。。。
我的数学并不好，没有参加过什么比赛，考试也是一沓弧度。。。也是到了博士，才发现自己对于数学的理解基本就是文盲的状态，因为化工的学习，对于数学的要求和思考还是停留在古典分析和算法上，所以，一直挣扎在理解和实际的问题思考上，也对于数学教育产生了质疑，为什么我们正常接收了教育却不能理解什么是数学？
慢慢理解，其实我们读的书籍（教科书）和我们理解的数学与真正的数学有很大的差距，真正的数学是讲究概念，逻辑，但是矛盾的是里面有许多线索不是逻辑，里面有许多实际因素在里面，其实数学的发展是很混乱的，例如古典的微分方程很多没有解，许多是发散，关于这个问题就需要许多新的数学工具来处理，这样就接触了《泛函》，但是《泛函》基础是什么呢？
现代数学的入门的关键主要是群伦和拓扑。这些就要你花大量的时间学数学的基础概念，其实分析难就难在概念的理解，连续和一致连续等等，很多时候，你要花很多时间改变学习思路，我就是这样的，一直认为自己笨，其实不是这样的，其实别人学一遍，你学两遍，还不行，多读几遍，要有许三多的精神，什么都不难，我从来没有对自己说不行！因为我相信只要我做，我就能做好，
（博士时候，我做实验，我做了上百次实验，我的实验结果非常漂亮。。。）
我读《什么是数学》，我告诉你，我读了一年，不断的读，加上读别的书，慢慢理解了，很多问题就解决了，看别的书，就容易了！其实我只是学习的顺序发生错误，要《代数》和《拓扑》先行，其他的就很快了理解是需要时间，不能着急，不能半途而废。记住一定要代数现行，读代数理解概念，慢慢读，慢慢思考，读数学的时候最重要的是速度要慢。。。
自己现在还没有到说自己数学到什么程度，但是自己对于古典分析很有信心了，对于自己学习新的数学也有了期望，
我为什么写这篇文章，为了激励那些数学不好的人，没有学明白的人，只要你想做，找到合适的顺序，忘记过去学过的数学，重新开始，你一定会能学明白数学的！
对于学的比自己好的人，我从来不嫉妒，我也不会叫他们牛人，因为人是平等的，只要努力，我也会有属于我的那一天！
对于学的比自己不好的人，我会说加油！我会说我尽我所知的告诉你，因为学习是一件事：
think pair share
最近，又在思考，什么数学最有用？
由于学习和工作的原因，现在我越发感觉流形的概念最为有意义和实用性，也是现代数学的概念的一个缩影，希望大家能够了解到
写一段关于流形的数学，是我最近希望弄明白的一个课题和书写的东西
数学书籍要重复阅读，但是单纯的机械的重复是不够的也不可以的，所以，在阅读本书的基础上，还要去读其他的书籍。如《数学及其历史》，例如《普林斯顿数学指南》等等，还要去读一些教科书。这样数学的理解才能加深
2014.3.5 -
里面的数学思想真的是全了，
如果没有读明白的同学，
可以以这本书为一个自己学习数学的标尺：
我先写一点对照：
1.数论---------代数基础；
结合着几何作图，
讲明白了什么是群，环，域，模
数系-----分析的基础，实变函数的基本思想；
2.几何部分-----------讲解了什么是代数曲线；
变换，反演-------泛函和复变的几何基础；
几何本身就是一个完备的组合；
课后的习题还讲解什么是凸函数
3，拓扑，
就不用说了，基本上把几个思想联合
结合极大极小-------变分；
后面的进展方面，我相信你要是真的理解了，
并且在阅读中寻找到原书，参读的话，
我觉得你的数学的水平，就是那么大的！！！
-
你谦虚。 -
超五星级水准 -
中文的确有不少问题，但两星的评价还是有点低了。 -
匆匆扫完……大致有了对数学完整体系的了解。然而细节全然不会呢 -
这是看过的最好的数学书，让我想起了高中曾给我们上过几次数学方法的老师。数学是很奇妙和好玩的学科，可惜我们大多数人都没有遇到教我们学习方法的人，这本书从某种意义上来说就是个好老师，五星力荐。 -
有点意思，不解释。 -
一直在中国,上了10年以后思维可能定式了
看一看西方人的思想思考角度, 会受到不一样的启发.
什么是数学,对于我这个本科期间也学数学的人,也不知道.
相较而言,数学是什么,倒是一个简单的问题呢.
还是希望有人看看的.
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对于非数学专业的人来说读着还是有点吃力的。。。 -
嘻嘻，好吧~ -
书中前五章基本一字不漏地看完,到第六章我则没办法看下去,因为柯朗为了照顾没有数学基础的人用不严谨的方法描述这些定义,对我来说比较难接受,所以我去转看Tom.Apostol的calculus.
但是,我想说这本书规划是有顺序条理,从数论,整数,从数学发展历史前进到数字系统,实数,复数,再从古典几何入手,用新的角度重新探讨古典几何,再转入透视,再到拓扑,后面我没有继续下去的则是函数/极限/微积分等等.
第三章是最令我受益匪浅,柯朗在这一章的引言很有吸引力,用解析几何的角度阐述古典几何,并告诉我这一章里面会告诉我如何用新角度理解古典几何恶,古典几何几个无法用尺规作图问题的证明(无法三等分任意角/无法翻倍一个立方体体积/...),再介绍圆的一个性质(inversion),并再给出一个如何完全抛弃直尺完全利用圆规进行尺规作图.第四章则是透视几何,是古典几何的扩展.并后面补充如何抛弃圆规只用直尺作图(外加个给定的圆).再阐述了Non-euclidean几何内容.这些内容,完全拟补了我初中时候学数学很多疑惑并因为无脑做题而没有去进一步研究探讨的空白盲区,这些知识,都是一个初中生完全可以接受并可扩展数学方面的思维的知识.我很遗憾到最近才能读到他,也很兴庆我没错过他.
说不足的地方,也许和我的英文水平也有关系,作者在写这本书的时候用了相当多的长句,大量定语从句修饰嵌套,有时候一句话写了接近5~6行,对于我来说有时候真的是很吃力,尤其是在读长句还要理解一些概念的时候.不过好处在于读了这本再去看apostol的calculus语言方面的压力轻松多了.
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我一定是在看一本奇书。从序言就被震慑到了 “当我要结婚时，我的父亲要我妻子读懂 什么是数学，她未能做的很好，不过她仍被接受进入我们的家庭” ？？？
数学功底太弱根本看不下去[Smile] -
书籍说明
数学科普知识的世界名著
真正的神作
每个人都应该认真读，你才能体会数学的美好
作者用一种浅显易懂而又内涵丰富的方法阐述知识
用这本书来迷上数学吧
阅读建议
现在就开始看，科普数学，培养学习数学的兴趣
唯一的遗憾是：
这次英文影印版的质量实在不怎么样。。。 -
经典的科普书 -
完全看不懂，欺负我智商低咯，看不懂我评价个毛啊 -
我觉得缺乏对数学本身的说明。仅仅指出学数学的次序或许是不够，而要能让人感觉数学真的如此美好。 -
“考试也是一沓弧度”、“记住一定要代数现行”，恕我愚钝，是故意要这么写的么？ -
希望可以在底层上对数学有些更深的理解。 -
艾玛，作为文科生，完全不懂那些专业数学词儿~ -
从书架上拿下来布满灰尘的书 这辈子最恨的学科 -
我觉得副标题非常的贴切。
初等数学的脉络讲解的非常清晰，对解决问题的思想方法分析的简洁、深刻。我以为能把事情用简单的方式叙述出来都是要么非常花费功夫，要么就是领域中的大师——正如《Programming Pearls》和《 The C Programming Language》，薄薄一本书，值得翻来覆去的放在枕边读。
我简要列举几例书中的有特点的地方。
P87：数的连续统——不论是作为理所当然的事来接受也好，还是只有作了批判性的检查之后才接受也好——从17世纪以来成了数学，特别是解析几何和微积分的基础。
这段话不仅是对数学发展史有了宏观的一个印象，而且本质上说明了这些精确定义的意义，和其他数学分支的逻辑关系。
P103：希尔伯特关于数学的形式化结构的理论，本质上是基于直观方法的。即使在最纯粹的形式推导、逻辑推理或公理化方面，构造性直观总是以这种或那种方式，或明或暗地作为最活跃的因素在数学中起着作用。
这是一个数学家的深刻体会，在多年经验和广泛涉猎的基础上的总结。可能作为初学者或者不是专业研究数学的人来说，这段话并不是多么重要，但是到了一定程度，必然对于柯朗的感叹会心有戚戚。即使对于初学者，这样的感叹也对于其数学思想的形成，有着良好的指引性作用。
P135：直到19世纪初，意大利的Rnffini(1762-1822)和挪威的天才Abel(1802-1829)（作者可能用的伟大一词较多，数学史上星辉闪闪是应该被称道的，但是作者极少用天才一词，一个天才表达了柯朗对Abel的无限惋惜。当我读《量子物理史话》的时候，再回头看数学上的Abel，年仅27岁的天才，深同此感。）才表明了一个在当时很革命的想法，他们证明了不可能利用根式的方法解一般n次代数方程。人们必须理解清楚，问题并不是任意的n次代数方程是否有根。这个事实在1799年首先为高斯在他的博士论文中所证明。所以关于一个方程的根的存在性问题是无可怀疑的，尤其因为这些根的值能用适当的办法以任意精度计算出来。方程的数值解法的技巧当然是十分重要的，而且有了很高的发展。但是，Abel和Ruffini所说的问题完全是另一个问题：只用有理运算和根式运算是否能够求解？由于要求彻底搞清这个问题，促成了Ruffini、Abel和Galois开创的近世代数和群论的重大发展。
书中，作者对于证明方法的思想进行了严密的论述，而论述之后的这个总结除了让人印象深刻之外，对于思想方法作了回顾，又提及了部分历史以及数学的发展，作者对于数学的宏观把握和感觉对于读者来说是非常有益处的。
P197：首先，我们看到，在综合几何中，即使是“普通”的点和直线这样一些基本概念，在数学上也是没有给出定义的。在初等几何课本中，关于这些概念，经常能找到所谓定义只是启发式的描述而已。对于普通的几何元素，我们的直觉使我们很容易感到他们的“存在”。但在集合中——作为一个数学体系来考虑——我们实际所需要的只是某些正确的规则。借助于他们，我们能运用这些概念，…………只要能以一种清晰而不矛盾的方式阐述“无穷远点”的数学性质，即它们与“普通”点的关系以及它们彼此之间的关系，则这个新的实体在数学上就有存的意义了。…………我们现在指的不是物理的点、直线，而是几何上抽象的、概念化的点与直线。几何的点和直线有着本质上比任何物理对象更为简单的性质，而且这样的简化是把几何发展成为一个演绎科学的根本条件。
P206：这样一种从强调几何直观中到强调几何的分析方面的转变，为简单而又严格地处理射影几何中的无穷远点开辟了一条道路，而且对更深刻地理解整个这门学科是必可缺少的。
P225：用通常的话来说，公理体系的观点可以表述如下：在一个演绎系统中，证明一个定理就是表明这个定理是某些先前业已证明过的命题的必然逻辑结果；而这些命题的证明又要利用另一些已证明的命题，这样一直逆推上去。所以数学证明的过程是一个无限逆推的不可能完成的任务，除非在某一点停下来。
P243：当黎曼作为一个学生来到哥廷根时，他发现这个大学城对这种新奇的几何思想有强烈的兴趣(他其实是去学习神学和哲学的)。他理科认识到，这是理解复变量解析函数最深刻的性质的关键。黎曼的函数理论极大地促进了拓扑学后来的发展，而且，在黎曼的理论中，拓扑的概念则是最基本的东西。
P182：从这个观点出发，把它分为“综合”的和“解析”的两种方法。前一个是经典的欧几里德公理方法，其内容是建立在纯粹几何的基础上，与代数以及数的连续统的观念无关，而且定理是借助逻辑推理从成为公理或共设的一组初始命题导出的。第二个方法是在引进数值坐标的基础上，应用代数的技巧。这个方法给数学科学带来了一个深刻的变化，其结果把几何、分析和代数统一成了一个有机的系统。
P205：在摄影结合的早期发展中，有这样一种强烈的倾向：把一切都建立在综合的和“纯几何”的基础上，而避免用数和代数方法。但是这种企图碰到了很大的困难，因为总有些地方看来是不可避免地需要某些代数陈述。直到十九世纪末才完全成功地建立起一个纯综合的摄影机和。但是代价比较高，因为这样一来把问题搞得相当复杂。而解析几何的方法在这方面却一直是比较成功的。在近代数学中，总的趋势是把一切都建立在数的概念的基础上。在集合中，由费马和笛卡尔开始的这种努力已经取得了决定性的胜利。解析几何，从仅仅是几何推理中的一种工具发展成这样一门学科：在这里，对运算及其结果的直观的几何解释不再是最终的、唯一的目标。几何主观更主要的是起着引导的作用，帮助启发和理解分析上的结果。几何的含义这种变化是在历史的进程中逐渐发现的，它大大地扩大了经典几何的范围，同时引起了几何和分析几乎是有机的结合。
P279：在莱布尼茨以及18世纪的许多数学家看来，（柯朗没有提及牛顿，大约是非常不喜欢他。而这是有原因的，也是合理的。我学的是物理，当然更对牛顿这个人吐槽多多了。）函数关系的概念多少是指存在着表示这些关系的正确性质的数学式子。对于数学及物理上的需要来说，这种观念已证明是太狭窄了。经过了一个漫长的时期，函数概念以及和它们相关的极限感念才得到以明确和一般化。
P445：但是，放弃这种愿望，而宁可在极限过程中考察它们在科学上唯一适当的定义，这通常是清楚前进中的障碍的一种成熟的态度，而在17世纪还不具备能够容纳这种哲学上的激进主义的明智的传统。
P496：欧拉的形式主义的方法中最令人赞叹的结果之一，是在复数范围内正弦和余弦函数与指数函数之间的紧密联系。应当预先指出，欧拉的“证明”以及我们随后的讨论，严格来说都是没有意义的；他是典型的18世纪的形式处理方法。
此外作者也不忘揶揄一些别的如P299：遗憾的是某些课本的作者故弄玄虚，它们不作充费的准备，而只是把这个定义直接向读者列出，好像作些解释就有损于数学家的身份似的。
以上摘录大约表明了此书的特点。
大师的作品读来令人失望的不多。这本50年前的书的重印，是对经典的致敬吧。柯朗最好的书除了这本，还有一个《数学物理方法》，他当年应该是教这门课程的？国内的教科书大多得益于这本书。
书中没有大量的演算，也没有大量的定理公理，但是基础数学的几何、代数、分析都涉及到，讲解的精炼深刻，尤其注意问题的思想和发展以及影响。这使得读者能够对基础数学有一个全面的看待角度。
书中也有大量的有关哲学方面的论述。数学，从哲学上来看，是形而上学的，分析问题的方法和思想是先验的。作者很少对历史上的数学家进行评价，转而只表述出某一个领域某一项创举的价值，这是一个特点。
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LZ的意思是否是要先读《代数》和《拓扑》，再读这本书比较好懂？ -
从中可以学到基本逻辑与方法。这也可以叫做所谓的元思维 -
总觉的人要掌握大量的知识，大脑就应该很聪明，最好像爱因斯坦一样。
但是，我们大多人是不具备那样的能力的，那怎么吧？
难道，是要用知识图，建立知识模型来记录吗？
如果是着这样，那得多少张图，模型？
所以，知识，它应该是不需要记忆的，是不用记忆的。
在本书的第一章《数学是什么》，我找到了答案。
但是，我们学习数学是为了什么？
锻炼思维？还是……用它去发现真相，看清楚事实。
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结构与关系
“上帝创造自然数，其余一切都是人为的。”
数学是一座大厦，那自然数什么?
是砖？是地基？
管它是什么呢？我们关心的是大厦。 -
相当与大学初级程度,让人领略数学时间的真实存在和美好
数学是上帝的编程语言,上帝用他编写了一个程序,就是现实世界.
物理只是对世界这个程序的破解,而数学可以超越上帝的视线.
我是左脑人,对逻辑不太敏感,但不妨碍这本书吸引进而打动我,要是学生时代看到这本书就好了,说不定对枯燥的数学题不会厌烦 -
挑剔一下：好多错别字 -
对于了解数学本身肯定是不够的，但对于我这种“工程师与哲学家“来说，此书堪称指路之明灯。至今仍在计划何时复习书上的知识 -
费脑费脑哈哈哈 -
估计要读一个月吧，做好打持久战的准备！ -
我讨厌数学 -
深入浅出 -
我的天呐。这是一本文科生通常一边啃一边怀疑自己的智商，啃完后即使一知半解也绝对忍不住昭告天下进行装B的巨著——但是文科生为啥要啃这种书？高中的时候好好啃就不会读文科了摔！ -
k -
我大学毕业一直混混沌沌，至今方才明白数学到底是什么，楼主之感慨既吾辈之感慨。 -
我是刚理解 -
我不是学数学专业，但是非常喜欢数学，有幸在学校的时候学过二年数学系的专业课，像数学分析、高等代数以及空间解析几何等，虽然那时学的似懂非懂，工作以后与数学也没有直接关系，但是随着工作时间越来长，发现数学知识的缺少让我很难再有很高的突破，也就是遇到了发展的瓶颈。于是我想到了继续学习数学，我花了很多时间去学习数学，但是几年过去了，我总是觉得得我在数学方面还没有开窍，一直混混沌沌。直到有一天很巧，一位同事告诉我一本好书,就是这本书（当然他也没有看过，只是听别人说过).我本身对书非常着迷，于是买了一本回来以后看看.
一开始的时候觉得过于简单，但是看几章以后发现不是了，作者的一句话可能让让我思考很久，特别是在讲数系部分，如有一句是这样说的:上帝创建了自然数，剩下的就是人类自己的事情了，还有在无理数那部分，引入的栩栩如生，区间套等概念，让我看的很兴趣，到后面的几何部分以及拓扑学以及微积分等基本概念很易理解。
我一口气花了几个月看完了这本书（不管是在家还是在外出差，我都把这书带着，前面时间我在外地负责招聘时只要一有时间我就会拿出来看)，看完以后，我又重读到一些之前没有太看懂的部分,看完以后突然觉得对数学有信心了。
前两天我在看湖南南视的天天向上，发现有一句话与我看这本书的感受特别相似，在电视里说到看三国演义与听单老讲是完全不一样的感受，听的时候单老会带有自己的理解，而看的时间一般书只会生硬的讲概念和公式，而这本书就是这个个作用. -
这其实就是本数学书啊，心塞 -
大师之作，受益颇多。 -
作为一本世界著名的科学科普读物，翻译水平之差也真是让我醉了。整本书读起来味同嚼蜡，现在我终于知道复旦大学出版社的水平了。希望有更好的译者，更好的出版社接手再版。 -
我小时候数学还有点潜质，后来就平平了，是因为我对数学失去了兴趣，失去兴趣的原因是老师认为我提的问题都很弱智。
看了这本书后才明白那些懵懂弱智的问题耗费了这么多天才的精力才弄明白甚至还未完全弄明白，心里有些释然，亦有些唏嘘。 -
不爱红装爱武装 -
互相的！期待下一篇大作！ -
明显楼主吐槽式的调侃 -
可惜文科生读起来很累，现在还没读完，已搁置。 -
生动简洁明了。性价比绝壁非常高。很厚。非常值得购买。可以激起对数学的兴趣。 -
可惜我读晚了，无法耐心的看已经知道的知识 -
同时天涯沦落人，相逢何必曾相识， -
正版书啊！！！！！ -
数学科普书。对于理工科的大学生来说还是看教科书比较实在。 -
按照亚里士多德的形式逻辑里面的公式：
苏格拉底是人，
而翻过来，
就是人是苏格拉底；
这个是错的，
但是翻转两个命题的关系，
就是对的，
这个在形式逻辑中就是一个矛盾，
关于加上内容的关于思维的规律，
----逆向思维
这个公式就要是一个非常打一个大的问号？？
普鲁斯特《追忆似水年华》
也是小说里的
康德：从知识围绕对象，
到对象围绕知识转；
建立了理性批判；
马列对于黑格尔就是翻转，
但是这个翻转的可能就是一种错误，
因为这个解释不了文化在经济发展好了，
反而退步了，这个命题。。
有可能就是错误的。。。。
哥白尼从原来的星球围绕地球转，
反过来，地球围绕太阳转，
结果建立了天体力学。。。。
代数的整个学科的本质就是对于几何问题和算术问题的倒转。。。
极限的定义竟然也是一种逆向的思维
戴尔金：从直线找间断点，
转到利用间断点来思考直线---定义直线；
构建了实数系；
希尔伯特：
从几何原本的直观定义，
来规定其他的定理；
利用其他的公理，来规定几何直观；
插值和级数求和是逆反问题；
积分和微分互相成逆反问题
我们学习复变分析，是正面学习，
学习完了，也不知道什么意思，
但是，复变的建立就是我们学习的过程的反面的过程，
是需要二元数，才需要这样的数字。。。。
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高中时从TianJN那抢来一直捧着读,掌握程度很低,但是改变了我对数学,科学及世界的认知 -
完美的分析就像手术刀一样的，柯朗的灵魂被你雕刻出来 -
多谢指正，已修改。@小石头
多向你学习~~@阅微草堂 -
什么是数学？ -
这个总结太野了 -
只看了一小章，很喜欢！ -
高中时候要能看一看可能对数学了解更多。一本科普读物。 -
我是一个大三学生，准备考研了，可是本科阶段数学没有好好学，线性代数几乎没有怎么听，当时也只是记一下公式考试勉强及格，请教大神，有什么好的线性代数书籍没有，介绍一下。谢谢 -
这本书其中有两个问题值得思考：
一个是归纳法，
一个是反证法，
归纳法在这本书给了一定的分析，
在归纳法的定义中，是一个从1,2，n；
首先N是可数的无限，而不是无理数那样不可数的连续，
这个是关键性之一；
归纳法在无理数和无限维的时候完全没有了作用，
只能通过拓扑的邻域，度量，和分析的观点来判断如何思考；
其实归纳的定义就是一个映射：从实数到自然数的一个映射；
里面少了一些内容，这个不是那么明显的表示出来；
在现代数学理论中可以替代的归纳法的就是代数序的结构；
第二归纳法只能限制在数学范围，
在自然科学中可以应用的非常的少，
举例，最好的就是化学的元素周期表的异同性问题比较突出；
反证法一直是我以前不太理解的问题，
这本书也并没有给予清楚的介绍，
反证法我们用另一个化说一下：
就是一个命题如果是真的，
我们为什么要提出一个假设，开证明其中是假的？？
其实这个问题的关键性的思考是逻辑定律
是不是非，
1永远不能是2，
但是提出假设，
就是逻辑的思考问题，
相关的内容可以参考《人类的知识》罗素；
反证法的思维方式决定了一个人是否是具有科学思维的关键！ -
真正的数学是讲究概念，逻辑，但是矛盾的是里面有许多线索不是逻辑，里面有许多实际因素在里面，其实数学的发展是很混乱的， -
知我者小四也。。。。。 -
不是谦虚，是真话 -
这本书不但编写极好，难得的是翻译也极好，有基础的读者能够系统梳理知识，没有基础的读者也能领略到数学的奇妙 -
好看的书，价格也合适 -
翻译挺好，当然小的瑕疵有，不影响阅读，英语味仍留。从小学低年级学三角形公式就把面拆成线来想（据说就是微积分的思想）的我，很喜欢数学，在解题技巧上训练的不错了，但是0.99999... = 1 和无理数什么的，我一直不能确信，我总是有一种冲动，要把自己的知识重推一次（其实就是公理化），看着这本书很开心，课本里面没的都补上了。更何况还有非欧几何和拓扑学。买吧，中国的书不贵的，就一星期伙食费。 -
要考研了，数学还是那么糟糕，想借这本书来学习一下数学的真实面目！！请问LZ现在高就？？？？ -
我在的高中就这样 -
专业中类似科普的著作 -
多人推荐，启蒙 -
一本形成你思维结构的书 -
数学教学有时竟演变成空洞的解题训练，这种训练虽然可以提高形式推导的能力，但却不能导致真正的理解与深入的独立思考。
我20年来所受的的教育，别人70年前就知道错了。
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这本书大概是我不可能看完的一本书了，所以还是现在写书评吧。
我是经济学的本硕，数学相当一般，考研的时候曾经温习过，后来就求求最值、用用最小二乘法、T分布、正态分布数值特征什么的了。其他的很少用，也很少涉及。
重新温习是因为看衍生品定价的时候，确实感觉非常困难，以前学的都忘了。忘了还在于理解不深刻。
为啥说这些七七八八的呢？因为这本书就是帮助你理解和爱上数学的。同样的内容，比如求极限、比如微分、积分，看一遍这个书，再看教科书，感觉这本书写得真好。
在这里没有飞来的公式，只有和实际问题联系的的问题和求解；没有飞来的定理，而是有某年某月某个有血有肉的人回答了这个问题；他可能回答的不好，后面还有哪个人又研究了，有什么结论。
还有一个优点是，有高中基础就能看，深入浅出。习题没有认真做，据说很经典。
总之，是一次非常愉快的阅读体验。 -
好看 -
非常精彩，回家主要重看了数论，射影几何和拓扑学几章。 -
数学自从初中一年纪后，就没好感！ -
不好 -
写的很差 -
比起大部分科普书确实高到不知道哪里去了。 -
改变了我 -
觉得翻译的不咋好 -
考完研后，我有了两个月相对清闲的时光，加的数学群里分享了这本著作。刚开始看已经开了很多脑洞了，刷新了对数学的认知，非常好的一本书，深入浅出，引人入胜。很赞 -
数学就是：班车五分钟后来，我下楼要3分钟，于是决定先回复，先不看文章~~ -
凭良心说，原著真没读过，但是有几个读过原著的朋友极力推荐此书，只是自己英文很差，担心难以理解大师所述的精妙，所以要买一本中文版本。本以为出版社挂着复旦的名头，会对这种严肃性的翻译工作审慎对待，结果很是失望。虽然不了解翻译的具体流程，但是最起码应该结合中文的句型、语法等进行处理吧，文学润色就不奢求了。
很久不这样抱怨了，看来大家还是苦学英文吧！无语 -
非常经典的一本书。个人意义上的数学启蒙书。 -
还记得是北航华班的学长曾经向我推荐的一本书。大一刚入学的读物，第一次感受到数学体系与思想的魅力！ -
对于科学方法来说，重要的是应放弃形而上学性质的因素，而去考虑那些可观测的事实，把它们作为概念和构作的最终根源。 -
数学基础很差 表示进制转化的地方 槑槑了。
好书~~
”抱歉，你的评论太短了“
短。怎么了？
短，怎么了？
”短，就不能满足你了吗？！“
。。。。
。。。。
还短
还短
还短
你是有腹黑啊。。。
。。。
。。。。
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我还没有看完，也不打算囫囵吞枣的看完－－这是对经典的亵渎。每天看上一两页，也够我回味几个星期了。某大学是数学专业的，在浑浑噩噩的的四年中，只学会了几十个深奥的名词，像人肉计算器一样解了几百上千道的数学题，再无更深的体会。直到最近，突然对数学，更确切的说是对了解一切事物的本质有了兴趣。特买来此书，本也没报太大希望，数学书就是公式和证明的堆砌，可刚读到有理数这节时，才发现自己错了，原来的认识太过肤浅，简直就是白痴级别的认识。作者把历史和数学融入在一起，不仅告诉读者what，还让人知道why，让每个读书人都能很好的理解事物是怎么发展的，这就是精髓，本质。 -
我觉得数学好的人很酷很强很性感，所以我去看了。
我发现并不是数学好的人很酷很强很性感，而且数学本身很酷很强很性感 -
没觉得有趣啊… -
看来想要学好哲学先得学好数学啊 -
大一下，2011年7、8月看过这本，对数学更加钟意。 -
看了以后漫漫的开始喜欢数学，数学真的很有意思。 -
分享或者是推荐 -
这个评论怎样收藏？？？ -
短，确实不能满足豆娘... -
学了许多事的数学，翻开这本书后才发现自己一直都不知道在学什么。现在知道了