《费马大定理》书评

复杂：简单思维的丧失

透过本书，我们可以了解，有些问题看似极其简单，背后却隐藏着极为复杂的原理。以前自己思维趋于简单，现在偏向复杂，因为发现简单不足以帮助我解释世界原貌，依赖简单反倒会让自己失去了解事物本质的机会。当然，信息爆炸的社会，对复杂也做了很大促进，人们乏于处理复杂事物，以至于简单法则显得令大众欢喜，但不得不提醒的是，享受轻松、明了可以，但别忘了，压力、困惑才是人前进的动力。有人会反驳，人就这一辈子，差不多就行，简单一下就过去了，这样的生存哲学无可厚非，属于追求短暂效益的（其实未必算是短暂效益），唯求今生心安理得。但我属于那种追求永恒价值的，大有”愚公移山“般的傻劲儿，渴望尝到大山被移走后的快感，这种精神可以长久。话说回本书，很好的关于费马大定理的历史科普读物，作为现代数论之父的费马给后世留下了一个极为奇妙的问题，然而作为业余数学之王的他，却又耍着不精确性的花招，只是说自己写不下证明过程，让后人自行证明，于是前仆后继的数学家们开始攻城略地。数学是纯粹思维的代表，比语言文字更具有抽象性，这也使得语言文字很可能随时间消亡，然而数学概念却长期存在，发展至今，得以让更多的后人站在巨人的肩膀上继续攀登高峰，安德鲁·怀尔斯要不是借助古今中外数学家们的贡献，自己也不能写出200多页的证明论稿。数论作为数学的基础，就显得更为纯粹，这使得真理不会有丝毫偏见，若是有一丝毛病，立即可以被反驳。300多年来说自己证明出了费马大定理的数论学家们的故事，就是很好的例证，他们的论稿中总有一点瑕疵，结果就被无情打回。追溯历史，要说数论奠基人，还得到古希腊去，找到毕达哥拉斯。这位哲学家不慕名利，专心研究数字，因为他认识到自然现象是由规律支配的，这些规律可以用数学方程式来描述，也因此提出了”万物皆数“的理念，更因此淹死了自己的一个学生，因为他提出√2不是”数“。毕达哥拉斯还是很优秀的，他提出了毕达哥拉斯定理（即勾股定理），也正是这个定理，将未知数的阶数往n阶引，费马提出了他的著名难题。另外不得不提的一点是，概率论的创立也少不了费马，从此开始了数学不确定性理论的研究。在数论上，费马还提出了质数定理，对等于4n+1的质数，总可以写成两个平方数之和，而对等于4n-1的质数，总不可能写成这种形式。这块领域，成就了伟大的数学家欧拉，历经7年，终于成功地证明了这个理论。跳回到证明费马大定理上，安德鲁·怀尔斯是如何想到的证明方法呢？就如同我们从历史中发现数论发展规律一样，怀尔斯也是从众多错误证明过费马大定理的数学家们的论稿中寻求灵感，期待从错误中洞察出正确的火光。这一追究，就把数的历史给挖掘出来了。为了弥补数学的”完全性“，”√-1=？“的问题引出了虚数的概念，欧拉借用费马的无穷递降法，通过将虚数 i 引入，证明了n=3时，费马大定律成立的特殊例子。不幸的是，过度的用眼，使得才20几岁的欧拉就一只眼睛失明。尽管欧拉后来还是完全失明了，但可喜的是，他在后来的17年中继续发展着数学，如果说有什么不同，那就是他比以前更为多产。这使我们联想起谁？贝多芬，失聪对音乐家来说就是惊天噩耗，然而贝多芬也像欧拉一样，扼住了命运的喉咙。额外提及一点，伯努利家族之于数学的贡献，就如同巴赫家族之于音乐的贡献。可见，数学的符号也好，音乐的符号也好，都是大自然神奇的语言，都有优秀的人物为其掌舵撑船。继续欧拉和费马证明了n=3和n=4的情况，那去掉倍数关系，接下来要证明的n似乎少了一些，因为质数是数学中的原子，别的数都可以由若干的质数相乘得到。然而，康托尔在数论中提出的无穷集合概念，却让我们的直觉被打趴下，他告诉我们除去无穷个特殊倍数数后的无穷自然数，剩余个数依旧是无穷。康托尔集合的概念是如此违背人们的直觉，以至于在他生命后期，言论攻击上升为人身攻击，康托尔因此精神失常，得了抑郁症。质数是如此的神奇，以至于密码学的设计编码方式只需两个超大质数乘积就好，一些生物的生命周期是质数，也能较多的避免生命周期是其公因数的生物的伤害。数学是如此的神奇，以至于公元4世纪有一位叫希帕蒂亚的女数学家着迷于数学和逻辑证明，当被问及为什么她一直不结婚时，她回答说她已经和真理订了婚。那谈到女数学家，不得不谈及代号为”勒布朗先生“的索菲·热尔曼。她算是”数学家之王“高斯的学生，为人古道热肠，对费马大定理做出了较大的贡献，在她的基础上，狄利克雷和勒让德才得以证明n=5时，费马大定理成立。费马大定理已经从n=3推进到n=5了，还有没有前进的可能？两位优秀的数学家拉梅和柯西登场了，他们都宣称完全证明了费马大定理，但是库默尔对他们的”唯一因子分解“提出质疑，因为拉梅和柯西都引入了虚数，然而虚数是不存在所谓的”唯一因子分解“的。截至到此，费马大定理似乎让人绝望。沃尔夫斯凯尔出现了，一个富有的人，求爱被拒绝后想自杀。准备自杀前无意看到了费马大定理，这个定理如此令他着迷，于是他放弃了自杀的计划，改成立沃尔夫斯凯尔奖，对证明出费马大定理的人颁发10万马克奖金。这导致了成千上万的证明飞向评审机构，促进了研究费马大定理的繁荣。哥德尔，除亚里士多德外最优秀的逻辑学家，试图弄清楚数的最深刻性质，以便掌握它们的真实意义，给费马大定理带来了一个坏消息。他的不完备性定理指出，存在不可证实的真命题。如果费马大定理真如此言，那数学家必然在做无用功，很可能耗尽一生都找不到解答。话题跳转一下，我们谈谈反证法。两个日本人谷山和志村研究出模型式和椭圆方程的相容性。这样看来，表面上完全不同的研究方向之间存在的联系对于创造新的成果至关重要，在某个数学领域中无法解答的任何问题，却可以被转换成另一个领域中相应的问题，而在那里有一整套新武器可以用来对付它。弗莱的反证法使得费马大定理有了转机，只要某人能证明弗莱的椭圆方程有绝对的古怪性，那么谷山-志村猜想就会隐含费马大定理的证明。肯·里贝特教授使得这两者间有了来往的桥梁，也就是说，只要证明了谷山-志村猜想，根据反正法，与费马大定理不成立矛盾，所以费马大定理是成立的。怀尔斯为了有希望找到证明，他阅读了所有的最新杂志，然后反复地操练最新的技巧方法，直到它们成为他的第二本能为止。经常在楼上的书房对设法做一些计算来解释某一小段数学，设法符合以前对某部分数学的泛泛的概念性理解，这有助于澄清我正在思考的具体问题。到最后，数学归纳法为怀尔斯添增了灵感。当他吸纳了众家之长，完成了自己的证明时，按照科学的程序，要求任何数学家将完整的手稿送交一个有声望的刊物，然后这个刊物的编辑将它送交一组审稿人，他们的职责是逐行地审查证明。为使审稿易于进行，200页的证明被分成6章，每一位审稿人负责其中一章。这个证明是一个特大型的论证，由数以百计的数学计算通过数以千计的逻辑链环错综复杂地构造而成。只要有一个计算出差错或一个链环没有衔接好，那么整个证明将极有可能失去价值。当最后的逻辑漏洞被怀尔斯补全时，肯·里贝特说道：”我想假如有人被遗弃在一个无人的荒岛上，而他只带着这篇论文，那么他会有大量的精神食粮。“剩下的问题，等着你来挑战：1.完满数是其因数之和等于它本身的那些数，如6=1+2+3，28=1+2+4+7+14，问，任何完满数都是偶数吗？2.质数的构成模式是否有规律可寻？那要求放低一点，孪生质数对是相差为2的质数对，那么孪生质数对是无穷对吗？3.哥德巴赫猜想，每个偶数可以分解成两个质数之和。4.面心立方体结构是最优的填装策略吗？5.四色问题通过计算机运算已证明，在于数学家将无穷多的无限可变的地图，变成有限地图构造起来，通过研究这些基本地图就有可能掌握那个一般的问题。从历史的研究中，我们可以看到思想、方法的演变，从错误的证明过程中也能看到一些微乎其微的逻辑漏洞，这些违背我们直觉，违背简单思维的怪物，让我们意识到自身的局限，如井底之蛙。如今数学发展如此深入，以至于正常人要读完博士才能对某一小块数学领域研究透彻，也才具备了创造新知识的可能。开始证明吧，接纳复杂思维吧，那会使你达到宇宙至极的真理。当然，还是那句话，如果你不喜欢理论，享受当下，依旧可以简单地活。

数学之致敬，人类之尊严

越读越震撼。这是一个值得致敬的群体，一连串的数学家前赴后继，去填补费马留下来的空白，历史已经写不下他们的故事了。许多人年幼时都幻想去解迷题，去挑战费马，或者哥德巴赫，或者黎曼。怀尔斯能从同时代的同行中脱颖而出，童年的梦想给予他莫大的支撑。他或许是最后一个以欧几里得式的传统克破数论难题的人了，没有使用计算机，仅靠纸笔和人的头脑，就能完成几千个逻辑链的连环，这就是人类的尊严。电脑或许可以无穷地运算下去，但是它没办法形成这样伟大的逻辑回路，更不可能以梦想来推动逻辑的演进。三百年，无数数学家前赴后继，幸好人们还记得他们，他们的成果在传递中获得不朽。看着他们的传奇都可以激动不已，那是弱小的个体或小群体孤独反抗巨兽的勇气。作者在怀尔斯那里花的笔墨其实也就是六分之一这样，看样子小说主角，确实太少了，可是这本书的主角并不是他一个人，他之前的所有先行者都是主角，不管是恶作剧的费马，还是之前的毕达歌拉斯和欧几里得，或是双目失明的心算神，或是孤身前行被歧视的姑娘，或是决斗中丧生的共和主义者，因之放弃自杀的巨富，无故自杀的新郎，眼见猜想被证明的老人。这些人各有特色，他们所做的努力不一定对社会有多大的推动力，所以他们被世俗误解，不被重视。能顶着压力在望不到边的智力王国中开疆辟土，还乐在其中，殊为可叹。怀尔斯苦心孤诣隐居七年，作者叙述这七年的过程，我的心也是一紧，虽然知道他最终做到了，还是有强烈的共情。仿佛自己和他是一个人，最后看到“我想我就到这里结束”时，也感动得几乎落泪。这是一本很容易让人想起童年梦想的书，看着那些梦想在另一个人身上实现，不可能不沉醉其中。数学是孤独的学科，世上如之者甚多，有许多人埋首其中默默无闻，他们孤独地行走在自己的王国里，远离喧嚣和荣华富贵，最后慢慢就被人遗忘了，就像志村和谷山。人们还是不要那么冷心肠，多把这些人从堆积的尘埃和厚重的历史中翻出来吧，或许看不懂他们的方程所谓，那就看他们的足迹与命运，那也是你作为人类的尊严的一部分。感谢作者。

“费马大定理”传奇

皮埃尔•德•费马无疑是数学史中最令人着迷的家伙之一。他出生在十七世纪法国一个商人家庭，仕途一帆风顺，以至于有资格使用“DE”这个具有贵族姓氏的前缀。费马是个富二代，但他所有的业余时间都用在数学上了。才华横溢的他被《业余大数学家的数学》一书的作者排除在外，“他那么杰出，应该算专业数学家。”当时数学刚从黑暗的中世纪缓过神来，整个欧洲只有牛津大学对数学研究持积极态度。巴黎数学家从十六世纪传下来的守口如瓶并非是一种好传统，不幸的是，“费马大定理”的两个核心人物都继承了这个不太招人喜欢的传统。一本古希腊数学家丢番图所著的《算术》跟随了费马一生。他在这本书上简单、潦草记下了四十八个评注。这些评注即是一系列数学定理，费马对此要么根本没有解释，要么仅仅给出一点点证明提示。后人的任务便是求证费马潦草笔记的正确性。例如：大于2的任意质数可以表示为4n+1或4n-1两种形式，其中n是某个整数。费马断定第一类质数总是两个平方数之和，而第二类质数永远不能表示成这种形式。质数的这种性质非常简单，但证明这种性质对每一个质数都成立则非常困难。大数学家欧拉经过七年的努力，几乎是在费马去世后的整整一个世纪时，才成功证明。费马说过，他对其每个评注都有一个证明，所以它们是定理。实际上，在后人证明这些评注之前，它们应该叫猜想而非定理。随着时间流逝，费马猜想一个个被证明，除了“费马大定理” ，因而，它也常被叫作“费马最后定理” 。读《算术》第二卷时，费马观察着毕达哥拉斯定理——毕达哥拉斯定理也叫勾股定理，它有几十种证明方法。这对费马来说，肯定没有吸引力——忽然灵机一动，如果将毕达哥拉斯方程X2　　+Y2　　=Z2　　中的X、Y、Z的2次幂升级到3次幂会怎样？他发现方程将没有整数解。他试着将其变为4次幂、5次幂……结果都没有任何整数解。在数的无限世界里，竟没有“费马三元组”的位置，这似乎是不可能的。费马在这个结论的第一个边注后面，写下了令一代又一代数学家为之苦恼的一段话：“我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。”在费马看来，它只不过是随手写在页边的众多数学评注之一。他从没想到，这个问题困扰人类长达三个多世纪之久。尽管他的好友梅森尼不断鼓动，费马仍旧我行我素，拒绝公布他的证明。费马十分满足自己对外界的挑战成功：只有我能证明，而你们不能。他并非与数学界毫无接触，事实上，他与他们通信，在信中费马叙述他的最新定理，却不提供证明。这种明显的挑衅叫他人无法忍受。有人叫他“那个该诅咒的法国佬” 。费马仅有的一次与他人探讨数学的通信是同帕斯卡，他们探讨了概率论。当帕斯卡催促费马发表他的某个成果时，这个喜欢恶作剧的数学家说，“不管我的哪个工作被确定值得发表，我不想其中出现我的名字。”伟人自有其特别之处。我们不能苛求费马改变个性，只能埋怨当时的图书出版商为何不将书籍的页边弄得更大些。如今的书籍并没多大改变，我们有理由相信，假如以后有费马式的数学天才再次降临，我们还会再受一次同样的折磨。欧拉只证明了3次幂的形式。“数学家之王”高斯虽然没有研究过费马大定理，但他得知女数学家热尔曼（当时他并不知道热尔曼是女性）对证明费马大定理有突破性进展时，一反常态，忘记了他一贯的态度而显得惊喜万分。1825年，两个年纪相差一代的数学家在热尔曼的基础上同时独立证明了5次幂的形式。14年后，法国人证明的7次幂的形式。在热尔曼取得突破性的工作后，法国科学院设立专项奖励，但以后每一次声明成功证明费马大定理的证明都被发现致命漏洞。数学家渐渐绝望，大多数人认为费马大定理无法证明。他们端出笛卡尔的话证明他们的无法证明。笛卡尔说费马在这个问题上吹了牛。数学与其他学科不同。其他学科由假设开始，然后在自然界或实验室进一步验证它的预言能力。例如，古希腊的德谟克里特猜想万物是由不可分割的原子构成。科学家于十七至十八世纪在实验室中证实了原子的存在，十九世纪末，汤姆逊发现了电子，原子不再不可分割。后来，陆续发现基本粒子与反物质粒子。现在物理学家猜想基本粒子是由更小的“弦”构成。数学则一开始就要求唯真。它从公理出发，经过逻辑论证，得出某种结论，一经证明便永远是对错分明。如果不经证明，便有犯错的可能。例如：欧拉猜想X4　　+Y4　　+Z4　　=W4　　不存在整数解。二百多年来，没人证明，也没人举出反例。直到1998年，有人发现了这个解：26824404　　+153656394　　+187967604　　=206156734　　这个解已经相当大了。事实上，欧拉方程有无数个解。如果数学不经证明，那么它所构成的数学大厦便有随时坍塌的可能。数学家不能容忍这种危险的存在。关于费马大定理，有无数数学家的传奇，甚至包括了决斗、自杀、绝望。值得一提的是它的奖金的设立人却仅是一名数学爱好者。德国人沃尔夫斯基凯尔失恋后决定自杀，他利用离他设立自杀的时间前的几个小时，在图书馆里翻看数学书籍，如你所料，他看到了费马大定理。费马大定理与其他著名世界数学难题一样，有中学数学水平的人都能看懂。沃尔夫斯基凯尔着迷了，忘记了自杀这回事。他立下遗嘱，以2007年为限，奖励第一个证明费马大定理的人10万马克。奖金的设立使证明费马大定理在全世界范围内真正疯狂起来，以至于负责这笔钱的格丁根皇家科学协会不得不印刷大量的退稿卡片来应付来自各地的信件。英国人安德鲁•怀尔斯默默埋头费马大定理很多年了。那时费马大定理已转换为证明谷山—志村猜想，但它同样令人绝望。怀尔斯像进行着007的间谍工作，成功地隐瞒了七年。这与他的前辈费马有神似之处，他们都不希望被外界打扰，又同时对荣誉十分渴求。毫不夸张地说，怀尔斯动用了自从人类发明数学以来的几乎所有的知识，汇集了20世纪数论中所有的突破性工作，才证明了费马大定理。他的证明写了满满二百页，被分成六章，由六个世界顶级数学家独立审核。很显然，经过358年的努力，虽然人类成功地证明了费马大定理的正确性。但这个证明用到了费马根本没听说过的模形式、谷山—志村猜想、伽罗瓦群和科利瓦金—弗莱切方法，并且，怀尔斯的证明即使浓缩到最短，也有一百页之多。这与费马留在页边的那段话格格不入。包括很多著名数学家在内的人认为，一定有以十七世纪数学知识为基础的简洁巧妙地证明费马大定理的方法。从这个意义上说，费马大定理至今仍没有完美解决。记得上世纪八十年代，徐迟一本《哥德巴赫猜想》让全国人民忽然议论起“1+1”和“1+2”来。这其实是哥德巴赫猜想的形象说法。陈景润在1966年证明了“1+2”，证明过程也写了二百多页，离最终的“1+1”只有一步之遥。但人类迄今为止，还在这一步之遥上努力。不仅是数学，每一个科学理论的发现与完善都是由一个或者很多个传奇故事组成，人类探索自然的好奇心永远不会得到满足。科学包含了功用利益，又永远超越着功利主义。这是一个艰辛、充满传奇而又幸福的过程，即使是对数学一知半解的人读来，也觉得惊心动魄，引人入胜。

读《费马大定理》有感

高智商的人之间，总喜欢玩一些高智商游戏，数学家们尤其如此。17世纪一位名叫费马的业余数学家，巧妙地向同行们留下一个谜题，而解决这个谜题，花费了全世界最高智商人类358年的时间。这个谜题就是最开始所展示的——看似很简单、几乎所有人都能读懂谜面的谜题。然而让这个定理充满神秘色彩的重要原因，是费马写在这个定理后面的一小段文字，“我已经有一个很简明的能证明这个定理的方法，可惜这儿的空间太小，我写不下”。数学的魅力在于，它如此简洁，如此有说服力，以至于数学中由每一个公理所推导出的每一个定理都是真理，逻辑的严密无懈可击，一旦成立，永远不会担心被推翻。我们学过很多其它门类的科学，譬如历史、哲学、物理、化学，这些学科的建立，都是通过不同的手段总结自然规律，归纳实验数据。所以这些科学发展的方向是——无限接近真理，永远达不到真理的高度。而数学，就是真理。数学的发展史其实是一部无声的血泪史。为了寻求真理而牺牲的人类不在少数，同样，为数学这一美妙的真理献出一生的也不在少数。我们耳熟能详的那些数学史上居功至伟的人物，从古希腊开始就层出不穷——欧几里得、阿基米德、毕达哥拉斯……著名的勾股定理:x²+y²=z²就是毕达哥拉斯的杰作，而费马脚踩在毕达哥拉斯的肩膀上，撂下一个自称已经被简明证明的“定理”，严格意义来说，未找到真正证明过程之前，我们只能称其为“费马大猜想”。数学家在常人眼中是一帮不食人间烟火的家伙，因为他们在研究的，很多都是在现实生活中毫无意义的东西。费马大定理的证明，属于众多毫无意义的东西中的一个。然而正是为了证明这个“无用之物”，数学家们开始了这场长达358年的竞赛，几乎涉及数学史上所有成绩卓著的伟人。而这358年，数学在围绕这个命题迅猛发展。回归到生活中，很多看似无用的东西，其实正在其它方面影响着生活。不要怕做别人眼中“无意义”的事，现代人做了太多“有意义”的事，“没有不可认识的世界，只有尚未被认识的世界”，很多尚未被认识的，说不定就存在于那些“无意义”的事中。我们可以从数的发展看到数学史的缩影。从整数到分数，从正数到负数，从有理数到无理数，从实数到虚数，每一次对数轴的补充都是数学发展的一大步，这每一步背后都有一段辛酸的故事，然而这并不妨碍无数数学家前赴后继，追求真理与完美。在费马大定理的整个证明过程中，人性的光芒，对真理的执着，从来没有停止过。欧拉虽证明折戟，但其一生奉献给数学，失明后仍在进行计算；女性数学家热尔曼的成果得到大数学家高斯认可，数学抹掉了性别歧视；一位名叫沃尔夫斯凯尔的业余数学家在准备自杀时遇到了费马大定理，于是放弃为爱殉情的念头……从椭圆曲线到模数学，从谷山—志村猜想到费马大定理本身，这个定理的最终证明者安德鲁·怀尔斯，向我们展示的不仅仅数学定理证明过程，还有解决问题精湛的思路。所有科学，甚至生活中的问题，都跟费马大定理的证明过程一样。世界是相通的，看似完全不同的东西之间，都有共性存在，我们需要发现共性，然后去证明它。就好比我们生活中的无线电波和可见光看似完全不同，而本质都是电磁波。我们要在遇到困难的时候，选择换种方式思考问题，而不是钻牛角尖在某个领域棘手的问题，在另一领域存在简明的解决方法。现代的数学在向大统一数学靠拢，多学科融合是不可抵挡的历史潮流，一味坚守有限的阵地等于固步自封。这好比在我所从事的核医学专业，就必须将核物理、电工电子学、放射化学、无机化学、有机化学、生物化学、影像医学，临床医学结合。了解每个领域的需求和最新动态，相互联系，相互服务，才能让新兴学科发展步入正轨。除此之外，对我的人生启示是，兴趣如同信仰，是黑暗中的一座灯塔。罗振宇在解读这本书的最后也说到:“没有兴趣，你将一事无成。”

费马大定理：一个神级玩家没写完的打怪攻略

有一款被称为人类精神世界贪嗔痴最高境界的游戏名叫：数论。这款游戏的开发商是：上帝。这款游戏的付费方式：免费（但对智商有一定要求，因为智商低的刚进游戏就被秒了）。迷上这款游戏的玩家，不仅不会被送到青少年网游戒毒所，反而被世界人民奉为神明。每打掉一个怪，人们都喜大普奔，争先恐后来围观。曾经有一个神级玩家，费马，他喜欢单打独斗行走江湖，不爱跟其他玩家组队。他总是不知不觉就把一个难倒了无数玩家的怪打掉了，或者能发现新的怪，继而把它打掉。但他拽得很，总是不屑于写攻略，只是偶尔高兴了会在log里写几句字字珠玑的提示。有一次他打掉了一个巨大的怪，老毛病又犯了，只在log里留了一句：我弹了弹指头就把它打死了，这里空太小，攻略写不开。然后，大神就去了另一个世界，一去不返。费马是如何打掉这个怪的，成了一个谜。从那以后，一代又一代的玩家争先恐后来挑战这个怪，但都被无情地碾压，以至于很多神级玩家见到这个怪就绕道走。玩家们不断刷副本升级装备，甚至花重金悬赏能打掉这个怪的牛人，可这个怪就在那里，不增，不减。这个怪渐渐成了一个传说，没人敢忽视它，也没人敢挑战他，甚至有人说，可能这个怪本质上具有不可被打败性。怀尔斯，让我们记住他的名字吧。他踏上了费马的足迹，单枪匹马挑战这个世纪巨怪。他相信他手上的新装备，椭圆曲线和模形式，具有灭掉这个怪的威力。历经七八年的努力，经历了独自奋战、接受质疑、甚至刚刚宣布打怪成功的时候，那个怪居然摇摇晃晃有重新站起来的样子，但他最终还是成功了。虽然有人说，他的新攻略也许不是费马当年的那个攻略，但这已不重要，因为怪已经被征服。从头到尾，数论就是上帝设计出来给聪明人玩的游戏。这个游戏是一个架空的世界，脱离了现实的世界。那些所谓的怪，都有着花容月貌的面庞和玲珑曼妙的身材，一代一代的数学家拜倒在她们的石榴裙下，为之癫狂，为之奉献自己的生命。作为普通人，即使无缘披挂上阵戎马一生，但远远站着欣赏也是令人愉悦的，因为她们那么美丽，生动，简洁，有力。

“费马大定理”传奇

皮埃尔•德•费马无疑是数学史中最令人着迷的家伙之一。他出生在十七世纪法国一个商人家庭，仕途一帆风顺，以至于有资格使用“DE”这个具有贵族姓氏的前缀。费马是个富二代，但他所有的业余时间都用在数学上了。才华横溢的他被《业余大数学家的数学》一书的作者排除在外，“他那么杰出，应该算专业数学家。”当时数学刚从黑暗的中世纪缓过神来，整个欧洲只有牛津大学对数学研究持积极态度。巴黎数学家从十六世纪传下来的守口如瓶并非是一种好传统，不幸的是，“费马大定理”的两个核心人物都继承了这个不太招人喜欢的传统。一本古希腊数学家丢番图所著的《算术》跟随了费马一生。他在这本书上简单、潦草记下了四十八个评注。这些评注即是一系列数学定理，费马对此要么根本没有解释，要么仅仅给出一点点证明提示。后人的任务便是求证费马潦草笔记的正确性。例如：大于2的任意质数可以表示为4n+1或4n-1两种形式，其中n是某个整数。费马断定第一类质数总是两个平方数之和，而第二类质数永远不能表示成这种形式。质数的这种性质非常简单，但证明这种性质对每一个质数都成立则非常困难。大数学家欧拉经过七年的努力，几乎是在费马去世后的整整一个世纪时，才成功证明。费马说过，他对其每个评注都有一个证明，所以它们是定理。实际上，在后人证明这些评注之前，它们应该叫猜想而非定理。随着时间流逝，费马猜想一个个被证明，除了“费马大定理” ，因而，它也常被叫作“费马最后定理” 。读《算术》第二卷时，费马观察着毕达哥拉斯定理——毕达哥拉斯定理也叫勾股定理，它有几十种证明方法。这对费马来说，肯定没有吸引力——忽然灵机一动，如果将毕达哥拉斯方程X2　　+Y2　　=Z2　　中的X、Y、Z的2次幂升级到3次幂会怎样？他发现方程将没有整数解。他试着将其变为4次幂、5次幂……结果都没有任何整数解。在数的无限世界里，竟没有“费马三元组”的位置，这似乎是不可能的。费马在这个结论的第一个边注后面，写下了令一代又一代数学家为之苦恼的一段话：“我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。”在费马看来，它只不过是随手写在页边的众多数学评注之一。他从没想到，这个问题困扰人类长达三个多世纪之久。尽管他的好友梅森尼不断鼓动，费马仍旧我行我素，拒绝公布他的证明。费马十分满足自己对外界的挑战成功：只有我能证明，而你们不能。他并非与数学界毫无接触，事实上，他与他们通信，在信中费马叙述他的最新定理，却不提供证明。这种明显的挑衅叫他人无法忍受。有人叫他“那个该诅咒的法国佬” 。费马仅有的一次与他人探讨数学的通信是同帕斯卡，他们探讨了概率论。当帕斯卡催促费马发表他的某个成果时，这个喜欢恶作剧的数学家说，“不管我的哪个工作被确定值得发表，我不想其中出现我的名字。”伟人自有其特别之处。我们不能苛求费马改变个性，只能埋怨当时的图书出版商为何不将书籍的页边弄得更大些。如今的书籍并没多大改变，我们有理由相信，假如以后有费马式的数学天才再次降临，我们还会再受一次同样的折磨。欧拉只证明了3次幂的形式。“数学家之王”高斯虽然没有研究过费马大定理，但他得知女数学家热尔曼（当时他并不知道热尔曼是女性）对证明费马大定理有突破性进展时，一反常态，忘记了他一贯的态度而显得惊喜万分。1825年，两个年纪相差一代的数学家在热尔曼的基础上同时独立证明了5次幂的形式。14年后，法国人证明的7次幂的形式。在热尔曼取得突破性的工作后，法国科学院设立专项奖励，但以后每一次声明成功证明费马大定理的证明都被发现致命漏洞。数学家渐渐绝望，大多数人认为费马大定理无法证明。他们端出笛卡尔的话证明他们的无法证明。笛卡尔说费马在这个问题上吹了牛。数学与其他学科不同。其他学科由假设开始，然后在自然界或实验室进一步验证它的预言能力。例如，古希腊的德谟克里特猜想万物是由不可分割的原子构成。科学家于十七至十八世纪在实验室中证实了原子的存在，十九世纪末，汤姆逊发现了电子，原子不再不可分割。后来，陆续发现基本粒子与反物质粒子。现在物理学家猜想基本粒子是由更小的“弦”构成。数学则一开始就要求唯真。它从公理出发，经过逻辑论证，得出某种结论，一经证明便永远是对错分明。如果不经证明，便有犯错的可能。例如：欧拉猜想X4　　+Y4　　+Z4　　=W4　　不存在整数解。二百多年来，没人证明，也没人举出反例。直到1998年，有人发现了这个解：26824404　　+153656394　　+187967604　　=206156734　　这个解已经相当大了。事实上，欧拉方程有无数个解。如果数学不经证明，那么它所构成的数学大厦便有随时坍塌的可能。数学家不能容忍这种危险的存在。关于费马大定理，有无数数学家的传奇，甚至包括了决斗、自杀、绝望。值得一提的是它的奖金的设立人却仅是一名数学爱好者。德国人沃尔夫斯基凯尔失恋后决定自杀，他利用离他设立自杀的时间前的几个小时，在图书馆里翻看数学书籍，如你所料，他看到了费马大定理。费马大定理与其他著名世界数学难题一样，有中学数学水平的人都能看懂。沃尔夫斯基凯尔着迷了，忘记了自杀这回事。他立下遗嘱，以2007年为限，奖励第一个证明费马大定理的人10万马克。奖金的设立使证明费马大定理在全世界范围内真正疯狂起来，以至于负责这笔钱的格丁根皇家科学协会不得不印刷大量的退稿卡片来应付来自各地的信件。英国人安德鲁•怀尔斯默默埋头费马大定理很多年了。那时费马大定理已转换为证明谷山—志村猜想，但它同样令人绝望。怀尔斯像进行着007的间谍工作，成功地隐瞒了七年。这与他的前辈费马有神似之处，他们都不希望被外界打扰，又同时对荣誉十分渴求。毫不夸张地说，怀尔斯动用了自从人类发明数学以来的几乎所有的知识，汇集了20世纪数论中所有的突破性工作，才证明了费马大定理。他的证明写了满满二百页，被分成六章，由六个世界顶级数学家独立审核。很显然，经过358年的努力，虽然人类成功地证明了费马大定理的正确性。但这个证明用到了费马根本没听说过的模形式、谷山—志村猜想、伽罗瓦群和科利瓦金—弗莱切方法，并且，怀尔斯的证明即使浓缩到最短，也有一百页之多。这与费马留在页边的那段话格格不入。包括很多著名数学家在内的人认为，一定有以十七世纪数学知识为基础的简洁巧妙地证明费马大定理的方法。从这个意义上说，费马大定理至今仍没有完美解决。记得上世纪八十年代，徐迟一本《哥德巴赫猜想》让全国人民忽然议论起“1+1”和“1+2”来。这其实是哥德巴赫猜想的形象说法。陈景润在1966年证明了“1+2”，证明过程也写了二百多页，离最终的“1+1”只有一步之遥。但人类迄今为止，还在这一步之遥上努力。不仅是数学，每一个科学理论的发现与完善都是由一个或者很多个传奇故事组成，人类探索自然的好奇心永远不会得到满足。科学包含了功用利益，又永远超越着功利主义。这是一个艰辛、充满传奇而又幸福的过程，即使是对数学一知半解的人读来，也觉得惊心动魄，引人入胜。《费马大定理》 （英） 西蒙•辛格 著 薛密 译 广西师范大学出版社2013年1月

一个魔戒的毁灭

Part.I1958年,在一本名为《与魔王的交易》的书中收录了这样一个故事：魔王请一个家伙提出一个问题，如果魔王在24小时内回答出来了魔王就会带走这个人的灵魂，如果没有魔王就支付给这个人10万美元。这个人问道：费马大定理是不是正确的？魔王离开了，并在迅速吸收了世界上一切的数学知识。24小时后魔王回来了，并承认自己失败了。底下是原文的描写，这段描写的特别有意思。“你赢了，西蒙”他说道，几乎是喃喃自语，并以由衷地敬佩的眼光看着西蒙，“即使我能够在如此短的时间内学会足够的数学，对这么困难的问题我还是赢不了。我越是钻进去，情况就越糟糕。什么不唯一的因数分解啦，理想啦——呸！你听我说，”魔王吐露说“就连其他星球上最出色的数学家——远远超出你们——也没能解开这个迷！嗨，土星上有个家伙——他看上去像是踩着高跷的蘑菇——能用心算解偏微分方程，就连他也放弃了”哈哈哈，没错，这就是在《费马大定理》一书中读到的故事。费马大定理证明的就是这么恐怖。纵观全书，作者对这个证明的过程叙述是极其精妙而有趣的。你知道的，我是个文科生。可是在阅读的过程中我对这个数学故事一直保持强烈的兴趣，从而衍生出了对数学的认知。不难看出，作者付出了大量的努力，巧妙地使读者避于落入复杂的数学概念的漩涡中，以费马大定理一个点指引着读者窥探整个数学的大世界。对这种叙事结构的好奇也是促使我写这篇书评的动力之一，稍后再表。Part.II读完了这本书的当天下午，我如下写道：“费马大定理的证明过程是一个近乎指环王一般的宏大故事，它包含了人类一生能经历的大部分体验，狂热、绝望、坚持……”：指环王与费马大定理的共同之处就在于，二者都为我们构造呈现了另一个世界。前者是中土，后者是数学。而在三百多年里，费马大定理就是那枚魔戒，以荣誉与财富诱惑着无数世上的数学家与智者投身其中，耗费了毕生经历与心血。就如同被遗弃在黑夜里的孩子，苦苦摸索却一无所获，只能在人生的弥留之际痛哭哀嚎。跳出文字，仅作为一个题材它就带给人无尽的想象与吸引。整本书从上至对毕达哥拉斯以及丢番图的追溯，下至对费马本人的一生的介绍以及定理被发现后各代人的尝试与突破。具体细节我强烈推荐小伙伴们去阅读《费马大定理》这本书，或者以视频或音频的形式去搜索《罗辑思维》第85期节目——《费马大定理》也叙述了这个有趣的过程。Part.III在这里就说一下给我留下印象最深的一个情节。当费马大定理最终的证明者安德鲁·怀尔斯经过7年秘密的证明，最终在剑桥的一次数学会议上以三次演讲的形式公布了证明。在那场被称为世纪演讲的会议的最后，安德鲁放下粉笔。他说:“我想我就在这里结束。”接着会场爆发出一阵持久的鼓掌声。然而现实精彩的地方就体现出来了。就在读者以为费马大定理这枚佛罗多手中的魔戒终于被抛入末日火山的熊熊烈焰之中，永远的解决了的时候。发生了戏剧性的反转。一个怀尔斯在证明的小漏洞把整个证明又推入了绝望的边缘。之前的荣誉与成就感顿时化作巨大的焦虑与压力。一个几乎是典型的情节反转，带来了巨大的体验感。通过对那个状况的构述，我们完全被代入了那个情景中，心也一直悬着。Part.IV其实对于一个故事来说，有趣是个很重要的衡量指数。它不是狭义的理解为好笑或者轻松如何如何。而是表现在带给观众的一种丰富独特的体验感，说白话了就是耐读。放于电影之中也是这样，我自己说:电影的表现力就像一场高考，有的学理有的学文，有的选艺术有的选体育。走心的走脑的走肾的，但归根到底都是要考大学的，都在于对一种体验感的呈现。故事丰富了我们生命的厚度的秘密就在于此。岔点别的，这里得辟个谣，国内所谓的世界三大戏剧表演体系:斯坦尼斯拉夫斯基体系、布莱希特体系、梅兰芳体系。其实是意淫与谬误。国际上从来没有这种说法，梅兰芳体系是中国人自己加上去的。剩下的斯坦尼斯拉夫斯基和布莱希特又称体验派和表现派，仅有这两个表演流派。而体验派又因其优越性在无论是银幕上还是学校内占据着绝对的主导地位。星爷在《喜剧之王》那个电影里读的那本《演员的自我修养》就是体验派的基础理论之一。再岔回来，所以体验感才是一个优秀的故事的核心。无论是小说、戏剧、电影要想讲的好讲的有趣，体验感是一个重要的指标。这也是《费马大定理》这本书的抓人之处。

学术的历史、学者的历史

一样令人心驰神往，还没读完，五星，没得说！作者、译者的文笔也是没得说！作者和译者笔下的费马形象饱满，那种恶作剧的可爱实在太赞了！—————————以下是无用的分割线。。。。你妹的字数！你妹的字数！你妹的字数！你妹的字数！你妹的字数！你妹的字数！你妹的字数！你妹的字数！你妹的字数！你妹的字数！你妹的字数！你妹的字数！你妹的字数！你妹的字数！你妹的字数！你妹的字数！你妹的字数！你妹的字数！你妹的字数！你妹的字数！你妹的字数！你妹的字数！

理解数学与科学的区别

在我看来，这本书除了描述清楚了费马大定理的历史渊源以及相关证明求解的思维过程，最重要的是，教会了我们一直以来在数学教育中最缺乏的数学理念教育。本书对于大部分人来说，最有价值的地方在于简明扼要地论述了数学和一般科学（主要是指物理）的区别，直接引用书本里“绝对的证明”一节里的话：费马大定理的故事以寻找遗失的证明为中心。数学证明比我们在日常用语中非正式使用的证明概念，甚至比物理学家或化学家所理解的证明概念都远为有力和严格。科学证明和数学证明之间的差别既是极细微的，又是很深奥的。这种差别是理解自毕达哥拉斯以来每个数学家的工作的关键点。经典的数学证明的办法是从一系列公理、陈述出发，这些陈述有些可以是假定为真的，有些则是显然真的；然后通过逻辑论证，一步接一步，最后就可能得到某个结论。如果公理是正确的，逻辑也无缺陷，那么得到的结论将是不可否定的。这个结论就是一个定理。数学证明依靠这个逻辑过程，而且一经证明就永远是对的。数学证明是绝对的。为了正确地判断这种证明的价值，应该将它们与比其差一些的同类证明，即科学证明做一比较。在科学中，一个假设被提出来用以解释某一物理现象。如果对物理现象的观察结果与这个假设相符，这就成为这个假设成立的证据。进一步，这个假设应该不仅能描述已知的现象，而且能预言其他现象的结果。可以做实验来测试这个假设的预言能力，如果它再次继续成功，那么就有更多的证据支持这个假设。最终，证据的数量可能达到压倒性的程度，于是这个假设被接受为一个科学理论。科学理论的证明永远不可能达到数学定理的证明所具有的绝对程度：它仅仅是根据已得到的证据被认为是非常可能的。所谓的科学证明依赖于观察和理解力，这两者是容易出错的，并且仅仅提供了近似于真理的概念。正如伯特兰·罗素（Bertrand Rus-sell）指出的：“虽然这有点像是悖论，然而所有的精确科学都被近似性这个观念支配着。”甚至被人们最为普遍地接受的科学“证明”中也总有着一点儿可疑成分。有时候，这种怀疑会减少，尽管它永远不会完全消失；而在另一些场合，这种证明最终会被证实是错的。科学证明中的这个弱点导致用一种新的理论替代原来曾被认为是正确的理论的科学革命，这种新理论可能只是原有理论的进一步深化，也可能与原有理论完全相反。接下来的一段结论：科幻小说作家和未来学家阿瑟·C. 克拉克（Arthur C. Clarke）曾这样写道：如果一个有名望的教授说某事毫无疑问是正确的，那么有可能下一天它就被证明是错误的。科学证明有不可避免变化的不定和假冒。另一方面，数学证明是绝对的，无可怀疑的。毕达哥拉斯至死仍坚信他的这个在公元前500年是对的定理将永远是对的。科学是按照评判系统来运转的。如果有足够多的证据证明一个理论“摆脱了一切合理的怀疑”，那么这个理论就被认为是对的。在另一方面，数学不依赖于来自容易出错的实验的证据，它立足于不会出错的逻辑。本书最后“第八章 大统一数学”的“计算机证明”一节里，还有一段特别值得大家深思的话，在计算机使用越来越广泛的今天，下面这一段，永远值得刻在所有的码农脑子里：这个奖到底是不是会被认领还是件有争议的事，但可以肯定的是计算机证明总不如传统证明那样发人深省，相比之下它显得空虚。数学证明不仅回答了问题，它还使人们对为什么答案应该如此有所理解。把问题送进一个黑匣子然后从另一端收到一个答案，这增加了知识但没有增进理解力。看，只增加了知识，但是没有增进理解力！

形神兼备

“业余数学家之王”费马随手涂鸦的挑衅性命题，困惑世间智者三百余年，多少数学家对之慨然兴叹。怀尔斯迎难而上，怀揣梦想，秘密工作，历时7年宣告成功，志得意满之际证明发现毁灭性纰漏，又1年呕心沥血，终于向妻子献上这一非凡的生日礼物。

热爱数学吧

就这样在工作之余我把这本书看完了！希腊，埃及，从毕达哥拉斯，欧几里得开始到独眼巨人欧拉，数学之王高斯，拉斐尔，柯西的失败，库莫尔的论断，再到希尔伯特的逻辑梦想，罗素的努力却引来了逻辑悖论，哥德尔不可判定性定理的证明这宛如量子幽灵般的测不准原理差点让数学的大厦轰然倒下，原来除了是非竟也可以有似是而非！年仅21岁便逝去的悲剧天才伽罗瓦的理论成了推倒了第一块多米诺骨牌的关键，再加上谷山志村猜想，历经几个世纪的沉浮从定理的诞生到证明，经历无数波澜，有着太多的曲折和辉煌，跌宕起伏！这费马一句让人蛋疼不已的话好生强悍！历经这艰难的证明过程，最后是怀尔斯成功了！看着这波澜壮阔的证明之路，成功失败起起落落让人感叹不已。。