写给全人类的数学魔法书

后记

在《写给全人类的数学魔法书》当中所涉及的主要都是初中到高一的数学课程（其中也有超出的部分），这主要是考虑到有很多人并不擅长于数学，所以才尽量减少相关的知识量。然而，我想读者们现在最关心的就是：“这本书当中给出的解题思路，在往后高年级的数学当中是否也能用得上？”答案是Yes。在本书的第3部分当中，我给大家讲解了10种解题的思路。我把这些解题思路和其他类型数学问题的联系，都一一对应写在了后面。在以下列出的类型当中也许有很多大家所不熟悉的，但是这无关紧要。只要大家能够感觉到：“啊，原来在各种情况下都能够用到嘛！”这就足够了。解题思路1 “降低次方和次元”•陪集定理•三角函数半角公式•三角函数乘法公式和加法公式•空间向量•三角函数的积分•部分积分•哈密尔顿定理•三角函数的积分解题思路2 “寻找周期和规律性”•三角函数的图像•递推公式•n次导函数•部分积分•行列的n次方解题思路3 “寻找对称性”•解和系数的关系•3次函数的图像•偶函数和奇函数的积分解题思路4 “逆向思维”•对数•积分•反函数•反行列解题思路5 “与其考虑相加，不如考虑相乘”•等式、不等式的证明•式变形解题思路6 “相对比较”•差分数列•递推公式•向量的分解解题思路7 “归纳性的思考实验”•数学归纳法•分数递推公式•整数问题解题思路8 “数学问题的图像化”•轨迹和领域•三角方程式、三角不等式•函数的趋向、极限、图像•定积分和面积•函数的最大值和最小值•向量的内部乘积•向量的方程式•数列的极限•中间值定理•平均值定理•极限坐标和极限方程式解题思路9 “等值替换”•恒等式•等式、不等式的证明•三角方程式•指数方程式•对数方程式•极限的条件决定了系数解题思路10 “通过终点来追溯起点”•证明题（全部）在实际解题当中，这10种解题思路并不限于我所列出的这些类型，而是在各种情况下都能够发挥作用。只要掌握了这些解题思路，在今后的学习当中，你一定会发现：“啊，在这里也能用得上！”总之，数学的世界是无限宽广的。只要你按照这本书上说的去做，掌握正确的学习方法和态度，掌握这10种解题的思路，就能够站到更高的地方来感受数学世界的宽广。如果你有勇气踏出这第一步，走向数学的美好世界的话，对于笔者来说也是一件值得欣慰的事情。在数学的学习中，要有一个“自由的学习环境”我在上高中的时候，就能够掌握之前所说的学习方法，这主要还是由于当时我所处的环境决定的，也就是说，这是父母和老师的恩赐。家父是东京大学信息科学方面的专家学者。每当周日，我会把一周积攒下来的问题拿来向父亲请教。然而，虽说是专家学者，但是对于高中数学的内容，父亲也差不多都忘了。因此，父亲的回答并不是“教给我什么知识”，而是一起来“思考”。对于各种问题，父亲都会给出大概的条理和启发，从而使我确信：“啊，原来不背解题方法也能够学好数学。”另外，由于家母的性格特别开朗、天真烂漫，所以，不管当年的我考了多烂的成绩，她都不会骂我。“考的分数还真低呀！（笑）”于是，两个人一起笑，最后就一笑了之，不再斥责。母亲也从来没有督促过我，没有对我说过让我“赶紧学习”的话。所以对当年的我来说，学习并不是一种“勉强和强迫”。从母亲那里，我获得了足够的信任，于是我能够自由、快乐地学习。另外，高中的时候，虽然我的数学成绩很差，但是数学老师总喜欢把手放在我的肩膀上对我说：“你很不错！”（但是不会给我加分）因为我当时的数学成绩真的很差，所以我也不知道老师说这话的真正意思。不过说实话，当年我还真没“背过”什么解题方法，考试的时候，都是通过定理和公式的证明来答题。也许老师说我不错，是说我这种轻松的学习方法。总之，当年的我，在学习上真的很自由。“必须给我背下来！”“必须给我考出好的成绩！”当年，像这样的监督和约束，我从来没有感受过。我学习数学不是被强迫的，而是带着兴趣去学的。我想这在高中生当中几乎就是一个奇迹。但是成年人就不一样了，每个成年人都拥有“自由的环境”，没有人强迫，完全可以凭着兴趣去学习数学。在今后的数学学习当中，我希望大家都能够有一个自由的环境。在书页的末尾，我要感谢为本书绘制插图的北见隆二先生，这些插图使得书中的内容更加容易理解。同时要感谢为本书设计封面和正文部分的萩原弦一郎先生。另外，还要感谢钻石社的横田大树先生，能够给作为晚辈的我这样一个机会。对于这三位先生，我表示发自内心的由衷感谢。

作者简介

这是一本能真正提高你的数学能力、快速拯救考卷分数的“数学宝典”。全书只讲解了10种基本解题思路，却足够你游刃有余地应对各种初高中数学难题，甚至连那些冷僻的高考试题你也可以轻松拿下。更重要的是，你将通过这10种解题思路，将所有的数学知识融会贯通，形成自己的学习方法，最终对数学开窍！

不要再死记硬背枯燥的数学公式和概念了。这本书将完全颠覆你自以为正确的学习方法，让你真正会学数学，爱上数学！

书籍目录

序言

为什么你学不好数学？

学好数学的窍门

数学差生也能当数学家

学好数学就靠方法

成年人为什么还要学习数学？

重新感受数学的魅力

“文科生”更要学数学

本书的使用方法

第1部

应该怎样学数学？

死记硬背要不得

学数学的诀窍——“记不住”

为什么要学数学？

数学=枯烦燥乏味？

不要去记解题方法

代替死记硬背的方法

多想一想“为什么？”

添加“新的语意”

不仅仅是“知识”，更要多一些“智慧”

对定理和公式进行验证

定理和公式是“人类智慧的结晶”

在验证的过程当中有所感动

通过验证提高“数学的能力”

对勾股定理的验证

对2次公式的验证

找到灵光一闪的原因

“倾听→思考→再教会别人”的三步走

怎样才算是“明白了”

学习的三步骤

准备一本属于自己的“数学笔记”

笔记是写给自己将来看的

把笔记变成属于自己的知识“宝库”

通过记笔记，来积累“教学”的经验

“宝库”笔记的记法

第2部

在解题之前应该掌握的知识

在数学当中，使用未知数的原因

算术和数学的区别

演绎和归纳

规律性

使用未知数的好处

去除未知数

代入法

加减法

万能的代入法

我们的口号是：“去除未知数！”

去除未知数的方法

2元2次联立方程式的解题方法（附录）

拿到数学练习册的做题方法

“能看懂”和“能解答”是两码事

关于练习册后面的“答案”

这道题为什么不会做？

怎么样才能够会答题？

当你会做这些题的时候

数学不好的人所欠缺的解题基本功

将应用题“数字化”

除法运算当中所包括的两个含义

图表与联立方程式之间的联系

通过辅助线，能不能获得“更多有用的信息”

数学好的人，头脑里面都装了些什么

数学不好的人的典型特征

数学好的人，都掌握了“基本的解题思路”

“10种解题的思路”和相应的作用

归纳出其中的原理、规则和定义，将复杂的问题进行分解

第3部

遇到任何数学题都能够解答的10种解题思路

解题思路 1“降低次方和次元”

1开3次方

在几何图形当中，同样可以降低“次元”

解题思路2“寻找周期和规律性”

找不着日历也没关系

同余式

解题思路 3“寻找对称性”

几何图形的对称

对称式

相反方程式

解题思路4“逆向思维”

“至少如何如何……”，遇到这种问题，我们不妨逆向思维

反证法

解题思路5“与其考虑相加，不如考虑相乘”

相关方程式的信息量

不等式的证明

解题思路6“相对比较”

相对比较=减法运算

无限循环小数

差分数列

解题思路7“归纳性的思考实验”

代入具体的数字，能够加深理解

加深印象，提出猜想

不断“实验”

数学归纳法

解题思路8“数学问题的图像化”

针对最大值和最小值问题的特效药

在联立方程式的解题过程当中应该想到的！

在乱石之上架起桥梁

解题思路9“等值替换”

在必要充分条件下（等值）

方程式的变形就是等值替换

意识到等值替换

在必要条件下，对充分条件加以讨论

给想法命名

……

第4部

综合习题——10种

解题思路的运用

综合习题①

综合习题②

综合习题③

综合习题④

结束语

编辑推荐

《写给全人类的数学魔法书》编辑推荐：全日本“最佳数学培训学校”校长永野裕之最新力作！“全日本最受欢迎的数学书！”日本亚马逊一般数学类别第1名！冲破惯常的数学学习法，告诉你数学到底是个什么东西，为什么“越是死记硬背公式，就越学不好数学”；书中详尽介绍10种最基本解题思路，只要熟练掌握，就能轻松应对各种类型数学题，尤其是难度较高的高考真题；书中回答了“怎样听课”“怎样记笔记”“怎样做练习册”等读者最关心的问题，将作者多年如何学好数学的秘籍倾囊相授；独创性地对数学公式和定理进行推理验证，启发读者抛开刻板的学习方法，不能“只知其一，不知其二”，真正了解数学，对数学开窍。

前言

为什么你学不好数学学好数学的窍门当你翻开这本书的时候，我就能想象得到，学生时代的你，数学成绩一定不怎么样，你在数学方面一定很自卑：“我没有数学方面的才能。”或者，你会这么认为：“数学好的人=有才智、有灵感的人。”认为自己和他们不是一个世界的人？这种想法是错误的！数学家秋山仁老师在他的著作《爱上数学》当中，关于“报考理工大学所需要的能力”说了这样4句话：（1）把自己的鞋子都收拢起来，放到指定的鞋箱子里面；（2）遇到不明白的字词，要拿出辞典查一查；（3）学会做咖喱饭（不会的话可以照着食谱学）；（4）绘制一张从家到最近车站的地图。为什么这样说？“因为你只要做到以上4点，就具备了报考理工大学所必备的能力。”上述4件事情分别代表了4项基本能力：（1）掌握了对应概念能够把左右两只鞋子都放到相对应的鞋箱子里面，就说明你掌握了一对一的概念。（2）能够理清顺序关系比如“book”这个单词，b是26个英文字母当中的第2个字母，下一个字母o在n的后面，在p的前面……也就是说你掌握了26个英文字母的顺序关系。（3）能够对事情的步骤进行整理、实行和观察准备食材，按照步骤烹饪，并且能够对整个烹饪的过程进行观察。（4）抽象能力的表现能够将三元空间的景象，用二元平面的方式绘制，去除不必要的部分，保留必要的信息，这就是一种抽象能力的表现。上述4项基本能力是几乎每个人都具备的。由此可见，除了那些想要成为数学家，并且能够引领数学界未来的天才之外（这样的人想必也不会看我这本书的），一般的人，无论是想要报考理工大学也好，还是处理在实际工作当中遇到的数学问题也罢，都不需要什么特别的“数学才能”。那么，为什么你的数学不好呢？恕我直言，并不是因为你没有这方面的才能，而是因为你所掌握的学习方法是错误的。我在这本书当中，将对如何掌握正确的学习方法进行阐述。掌握了这套学习方法，你不但能够学好数学，而且能学得轻松愉快。这套学习方法实际上是把高中时期的我自己作为教学目标，用约20年的指导经验加以研究得出的，而实际的学习效果已经被很多学生给证实了。用我这套学习方法，在短短的几个月之内，数学成绩从全班垫底到全年级第二名的例子不在少数。他们都这样告诉我：“这套学习方法的作用，已经达到了不可思议的程度！”“我从来没想过如此轻松愉快地学数学！”数学差生也能当数学家实际上，我也不是什么科班出身的数学专家，本科是在东京大学读的地球行星物理专业，后来是在宇宙科学研究所读的研，此后也没有在本专业领域内发展，而是想成为一名古典音乐指挥家，后来又参与到西餐厅的经营策划当中去，现如今开了一家名叫“永野数学私塾”的针对性指导培训学校，并担任校长。由此可见，我的人生经历是曲折多变的，然而唯一保持不变的就是我在“数学方面的教育工作”。从刚上大学开始我就担任家庭教师，一直到现在担任数学私塾的校长，前前后后约20年，有针对性地指导了一批又一批的学生。我虽然不是数学专业出身，但自认为是数学教育方面的专家。其实，回想中学时代的我……那时候的数学成绩是绝对谈不上优异的，远远低于全班平均成绩的情况也不是一次两次了。我初中的时候沉迷于棒球，高中的时候沉迷于音乐，学习成绩一直就在班级下游徘徊。这种状态一直持续到高中2年级的冬天（是不是有些迟了！），我意识到：“不能再这样下去了！”虽然拿出了这样的信念，但是和周围的同学比起来，我实在是落后得太多太多了，而且这个时候离高考已经不远了，同学们也全都开始认真读书。这种情况下，我意识到：“仅仅是和大家保持一样的学习进度是不行的。有没有那种一下子就能打个翻身仗的，超级厉害的学习方法呢？”另外，我还在想：“能不能找到一种轻松愉快的学习方法？”当时我是这么想的：要是在高考之前这一年多里，反复遭受着做习题、考试，考试、做习题的这种学习方法的折磨，那么我是坚决受不了的。学好数学就靠方法当我试着寻找一种适合自己的学习方法的时候，突然想到了这么一点：“为什么人们总是对小说和电影的情节念念不忘呢？”仅仅是读了一遍，看了一遍，就能够从头到尾把故事当中发生的每一件事按照顺序说出来，这是不是很厉害？为什么小说和电影当中的情节那么轻松就记住了？如果能够把这种“原理”运用到数学的学习当中去，想必会有很好的效果，并且让人学得轻松愉快。一想到这里，我就忍不住兴奋起来。“无需死记硬背”、“抓住故事的梗概”、“学会将所学的知识教给别人”……这就是我在这本书当中将要介绍给大家的“数学学习法”的几个关键点。正因为我找到了适合自己的学习方法，数学成绩才有了显著提高，最终我才考上了东京大学的一类理科，并且，在上了大学之后，这种学习方法仍旧发挥出了强大作用，此后的分科选考（东京大学在学生本科二年级的时候，会有一次比入学考试更加严格的专业课“分科选考”）和考研都如同我所期望的那样顺利地通过了。成年人为什么还要学习数学？当我还在做家庭教师的时候，就已经开始给成年人教数学了。一开始在收学生的时候，我就没有特意限制年龄，没想到竟有成年人来报名。从那以后，凡是成年人来报名我就一概不拒绝。直到现如今，我更是开办了“成人数学班”，专门教成年人数学，并且，还要告诉他们成年人为什么要学习数学，这也是我在教学过程当中发现的别具趣味性的地方。“都这么大人了，再来学数学还能有什么用？”有这种想法的成年人不在少数。（啊，正在读这本书的你想必不是这么想的！）的确，数学当中所涉及的向量啊、指数函数啊、三角函数等等，在日常的生活当中都用不上。然而，几乎所有的国家都把数学这门课列入义务教育的计划当中，这是为什么呢？因为通过对数学的学习，可以培养一个人的逻辑判断能力（即数学的思考能力），也就是说，能够让人有条理地来分析事情，而掌握了逻辑判断分析的能力之后，可以让别人接受自己的意见，也可以理解别人所提出的不同的意见。此外，当你在解决人际关系上的纠纷，工作上的烦恼以及环境问题等各种问题的时候，都必须要找到解决线索，这就需要你具有逻辑判断分析的能力，抓住问题的关键点并加以验证和定性，能够客观地分析和对待所遇到的问题，并且，在问题得到解决之后，能够将具体的事情加以抽象分析，从而得出经验，并根据经验归纳出合适的解决办法，以后再遇到类似问题的时候能够以此为参考加以解决。这就是学习数学真正的用意。就拿日常生活当中的事情来说，音响的接线就要用到数学，阅读家电的说明书，对旅行和工作上的事情进行安排和计划，这些也都需要数学。学习数学并不是为了能够解答练习册上的数学题，更是为了提高逻辑判断能力，提高在社会生存当中所需要的“智力”。成年人在工作生活当中，应该能够更深切地体会到学数学的必要性。重新感受数学的魅力遗憾的是，学生们并不能认识到学习数学真正的用意，也不会有感而发主动去研究数学，仅仅是为了应付一次又一次的定期测验，才死记硬背那些公式和解题方法，勉强去提高数学水平。（实际上，用这种死记硬背的方法，多半是不能提高自己的数学水平的……）在许多学生眼里，数学已经沦落为一门死记硬背的科目。当然了，在这种情况下，什么“逻辑判断力”之类的一点都不要谈，学习数学应有的意义已经完全丧失了。如果你在学生时代也是这样，那就更应该重新学习，借此机会找到数学真正的魅力了！如今你不需要应付考试，也可以自由安排学习时间，完全是出于兴趣爱好来学习，你对数学的认识，将会有180度的大转变。学习数学不需要什么条件，只要有纸和铅笔，立马就能够开始，并且，相对于学生来说，成年人学习数学会更加轻松，因为成年人拥有更多的人生经验，而对于抽象的事物，要想产生具体的印象，经验可以起到很大的作用。数学的内容大部分都是抽象的，能够把其中的“含义”和具体的“美感”相结合，这也只有成年人才做得到。“文科生”更要学数学在我学校里，凡是能够在短期内提高数学水平，摆脱不擅长数学境况的学清晰的文章的人，能够把别人的发言用自己的语言来复述的人，都具有很强的逻辑判断能力和资质。只要他们掌握了正确的学习技巧，并且把这些方法和技巧都吃透了，很快，数学水平就提高了。这是因为，人们是用语言来分析事情的，语言是逻辑判断的重要组成部分，所以在学习数学之前，语言能力是必须要掌握的关键。很多学文科的人都会往自己身上贴标签，认为“我不是学数学的料”，实际上这是一种误解；同样，人们往往会认为数学能力和语文能力是完全相反的，这也是认知层面上很大的错误。我认为，如果你的语文成绩好，在阅读文章和写作方面有自信，那么数学水平肯定就不会差。本书的使用方法虽然在学习上下了工夫，但是数学成绩一直就提高不上去的情况，一般都发生在初三到高一这个阶段。因为在这一阶段，学生们往往靠的都是死记硬背。那么，在这本书当中，我将把从初中到高一的数学课程拿出来举例讲解（当中也会有一部分内容超出了这个范围，届时书上会有注明），从而让大家掌握正确的学习方法。为了不让大家产生误解，我要说明一下，本书不是一本初高中数学辅导书，从书名《写给全人类的数学魔法书》就能够看出来，这是一本告诉那些在学生时代数学不好的成年人，为什么你的数学会不好，要想学好数学应该掌握哪些学习方法的书。如果你读了这本书之后感觉到：“啊，这么说的话，我觉得我也能学好数学！”那么，根据你所要学习的深度和级别，请你再去读一读相应的数学教科书或者参考书，同时，把我写的这本书放在一旁，当你不知道该怎样学习的时候，看看这本书，也许就能找到实用的“学习技巧”。虽说这本书是“针对成年人”的，但是我建议那些正在和数学做着殊死搏斗的高中生们也来看看，按照书上的学习方法来做，你的数学成绩肯定会有大幅度生，都有一个共同点，那就是他们的语文成绩都很好，特别是那些能够写出条理提高。拿起数学这门武器，顺利考上大学，这将不再是一个遥不可及的梦想。这本书最大的亮点，就是第三部分的“适用于任何数学题的10种解题方法”。不是让你去死记硬背这些解题的方法，而是在解题的时候能够找到属于自己的方法。掌握了这10种解题方法，就像是拿到了10把传世宝刀一样，你几乎可以解决任何的数学问题。你在读完这本书之后，不妨自己试一试。我希望能通过这本书，让那些数学不好的人不再感到自卑，让每一个人都能够了解数学、享受数学，从而轻松愉快地掌握数学。

内容概要

永野裕之，拥有20多年教学经验的“数学达人”，现任永野数学私塾校长。这是一所同时面向在校学生和成年人开班的数学培训学校，该校曾被NHK电视台、《日本经济新闻》、《商务杂志》等多家媒体报道，是三所日本全国“最佳数学培训学校”之一。作者反对死记硬背数学公式的传统学习方法，提倡学通、学透，进而领略数学的魅力，真正提高数学能力。

媒体关注与评论

无论遇到任何问题，你都可以搜集线索（解题条件），明确目标（待解问题），运用逻辑判断分析能力（计算过程）来加以解决。在确定问题得到解决之后，你还可以将具体的事情加以抽象分析，从而得出经验，并根据经验归纳出合适的解决办法，以备以后遇到类似问题时参考。这就是学习数学真正的用意。——《写给全人类的数学魔法书》

名人推荐

数学是人类知识活动留下来的最具威力的工具，是世间万象的根源。上帝必以数学法则建造宇宙。——笛卡儿

章节摘录

版权页：   插图：   我想说的是，能够感受到做一件事情的难度，这才是最重要的。当你读了教科书上面的解说以及练习册上面的答案之后，你会觉得：“哦，原来是这样啊。”但是，你没有想象过最初发现这个定理或公式的难度。如果你觉得哥伦布的鸡蛋仅仅是“谁都能够做到的事情”，那么你就成为不了哥伦布。一个全新的创意能够想出来是多么不容易，这一点你要能够体会得到。“就这么简单”，“这我早就知道了”，像这种不懂装懂的态度，在学习的第一阶段当中是最要不得的。 第2步：思考 学习的第2步，就是把新学到的东西进行反复思考。如果你真正思考了的话，那么脑子里面一定会产生许多的“为什么”。 多问一些“为什么”并不可怕，这说明你在学习的过程当中发挥了主观能动性。就请你多一些这样的困惑吧。 当你困惑的时候，你的“大脑思维能力”也在不断地提高。 当然了，不是说非得让你趴在桌子上思考。按照我的经验，当你在洗澡的时候，乘车的时候，又或者是躺在床上睡觉之前，想一想这些问题，说不定什么时候就能有所发现：“啊，原来是这样啊！”最重要的就是你“时时刻刻都在想”。 哪怕是你想来想去都一无所获，我保证这都不是在做无用功！ 对于那些不明白的地方，最重要的就是通过自己的努力去寻找答案。无论是翻书也好，上网搜索也好，总之要想尽一切办法，而在这个过程当中你肯定能够碰到各种各样的想法和解决的办法。当然了，如果有知道答案的人（这个人就在你身边），那么你不妨问问他。 说点题外话，对于一个老师，尤其是数学老师和物理老师，怎么样来判断他好不好，在这里我教大家一个简单的分辨方法。 当你把“当初提出这个方法的人，到底是怎么想的”这类问题拿出来问他的时候： “就应该是这么想的。” “遇到这种问题，就应该这样去解题。” 如果他这样回答你的话，就说明这个老师确实不怎么样。如果遇到像这种让学生们死记硬背的数学老师或物理老师，那么你最好就不要再向他请教什么问题了。你向这样的人请教，只有百害而无一利。如果是一个懂得学习的本质，知道为什么要学习数学、怎样学习数学的老师，他就应该会告诉你这么去想、这么去做的原因。

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