《写给全人类的数学魔法书》章节试读

《写给全人类的数学魔法书》的笔记-第2页 - 学好数学的窍门

秋山仁老师的那4句话简直是方法论的真理。
只要掌握了这4种能力，并加以练习，就可以将任何复杂问题化繁为简，从而得到解决。
面对一个复杂问题时，有些人往往力不从心，其实是没有找到一个好的方法论来开头：
1. 世间万物任何东西都有概念，遇到复杂的问题或事情，先把概念全部列出来（是不是有点像头脑风暴？），先不要管这些概念有什么用，只要是复杂问题中涉及到的元素，都列出来，如果列不出来，说明你对这个问题或事情涉及到的概念还有理解不到位的地方，要想办法弄明白。
以上这一步，对应的就是第1 种能力，掌握对应概念。
2. 概念列出来后，都是杂乱无章的，这个时候分析一下概念，肯定属于各自的某个领域，然后分下类，这样就有了一个稍显层次关系的分布图。目前这些没有先后的概念。
以上这一步，对应的就是第2种能力，理清顺序关系。
3. 有了上述的成果，但并没有完成事情或解决复杂问题，到目前为止，只是一些静态的东西或数据，接下来就要对它们进行操作，操作其实都是人人都会的，任何复杂的事情，都是由一个一个简单的操作组成，例如做咖喱饭，开火，放油，放饭，掐点，放咖喱，掐点，出锅。这些就是操作，你可能不会做咖喱饭，但是开火，放东西，掐点，这些肯定会吧。唯一难的是步骤。上面这里边，火，油，饭，时间，咖喱，锅，就是概念，既然想做咖喱饭，这些一定要有的概念。然后理出关系，例如火，锅，这属于厨具，油，咖喱，饭，这属于材料。什么时候开火，什么时候放油，什么时候放饭，什么时候放咖喱，这就是步骤，步骤是有先后关系的，这个先后关系对做成咖喱饭有着至关重要的作用，不按这个来，就做不出来，例如不可能不开火，就先放咖喱，因为不热油，不先炒饭，再放咖喱，那这个咖喱饭就不好吃。
以上这一步，对应的就是第3种能力，步骤整理、实行、观察。注意这里有三个概念，步骤整理：开火，放油，放饭，（掐点），放咖喱，（掐点），出锅。实行：就是人去做这些步骤。观察，就是每一步骤都要前一个结果正确，才能进行下一步，例如开火了才能放油，油热了，才能放饭，饭熟了，才能放咖喱，都熟了，或有香味了，才能出锅，这里掐点放引号，是因为这可能算是步骤，但也可能只算是观察手段，不是核心步骤里的。
4. 做咖喱饭，其实操作起来，要做的事情挺多的，例如步骤1，开火，只是说开火，而没有说怎么开火，用火柴，还是用火机，用天然气，还是电磁炉。只说开火，没说那么些乱七八糟的东西，这其实就是抽象。
能总结出开火来，而没有事无具细，对应的就是第4种能力，抽象能力。
所以说做复杂事情，就是1.列出概念，2.对概念进行分类，3.按照能做出想要的结果的步骤、执行、观察，再执行，4.如果事情复杂，就要抽象，分解成一个一个能理解的不复杂的问题，然后再循环执行1到4步。这其实形成了一个闭环和递归，任何复杂的问题都可以这么搞。
那么有人可能要问了，步骤整理和抽象是最难的，怎么搞，这就是这本数学书要教的，那10个思路了，什么降维了（复杂的转换为简单的），什么归纳法了。
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是不是很像编程？概念和概念之间的关系，就是数据和数据结构；算法就是那些步骤，具体执行时就是编程语言中的操作数，操作符，输入，输出，根据输出做条件判断，然后执行下一步。可能的话再循环。所以程序就是算法加数据结构。
有人可能说，按照这个，我程序可能写得已经很好了，但是发现这还不够，因为我们是个团队，别人的程序写得可能不好，或者大家都写得都很好，但是放在一起却发挥不了最大的效用，又或者程序写得好了，但是时间花的长了，工期总是延期等等问题。好了， 这些其实都是复杂问题，你完全可以按照上边的那4步来分析解决。其实这是不同领域的事情了。一开始发明程序的人想得肯定都是最简单的事情，但是做的事情一但多了起来，就复杂了，为了应对这些问题，人们就提出了软件工程的概念，这其实就是一种抽象，是为了解决问题提出来的解决方法，只有有了这些东西，程序员这一个行业，才是在不断发展的。

《写给全人类的数学魔法书》的笔记-第49页

《写给全人类的数学魔法书》的笔记-第15页

如果不想死记硬背数学定义和公式，那么在一开始，你就必须要找出它背后所蕴藏的“原理”。另外，你不能只是理解这么一个数学定义，还要搞明白它与其他的数学定义之间有着怎样的联系，这就需要你对这些原理有着全面性的掌握。

《写给全人类的数学魔法书》的笔记-第65页

解应用题：把题目的内容“翻译成”一个个算式。
……
不管怎么样，先一口气把它写下来，凡是遇到不清楚的地方，都用字母来代替。相当于多设几个未知数，把一个个文字条件变成代数式，然后找出这些代数式中未知数的关系。

《写给全人类的数学魔法书》的笔记-第28页

配方就配方嘛，说什么“平方的转换”！！

《写给全人类的数学魔法书》的笔记-第70页

求这两条直线的交点所在的坐标。为什么要加【所在的】？？
找个稍微学过点数学的翻译很难么？

《写给全人类的数学魔法书》的笔记-第16页

要想知道自己到底哪里不明白，有一个办法，那就是多问问自己“为什么”。
survey 学术界通常翻译成“综述”。

《写给全人类的数学魔法书》的笔记-第92页

把“等腰梯形”说成“等边梯形”，叫人情何以堪啊。

《写给全人类的数学魔法书》的笔记-第48页

不说“斐波那契”而说“费伯纳齐”……
51页：
不说“黎曼假设”而说“黎曼猜想”……

《写给全人类的数学魔法书》的笔记-10种解题思路 - 10种解题思路

1. 降次
代数：降低次幂，使运算更容易；
几何：抽出平面图形，使空间想象能力的要求不那么高，图形更“真实”。
陪集定理。。。。这是什么？
三角函数的半角公式、乘法公式、加法公式
空间向量
三角函数的积分（中国好像没这个）
分部积分
哈密尔顿定理。。。这是什么？

2. 寻找周期性规律
避免处理庞大数字，把握数字或图形无限延伸的趋势。
数论：同余理论
三角函数的图像
递推公式
($n$) 次导函数
分部积分

3. 寻找对称性
几何：轴对称、中心对称
代数：轮换下不变的代数式，比如($\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$)。
韦达定理
如果我们能够发现所要求的算式是一个对称式的话，就可以运用对称式的性质来进行运算。 高次方程中系数的左右对称性，如($x^4+2x^3+3x^2+2x+1=0$)，然后除以中间那一项（不带系数），这里是($x^2$)。
其实这里也有【降次】的思想。
($3$) 次函数的图像
奇函数和偶函数的积分
4. 逆向思维
把不规则图形转化为规则图形；
碰到题目中含有“至少”字样，那么可以考虑“不含有”的情形，免得分类讨论。
反证法。
指数与对数
微分与积分
函数与反函数


5. 与其考虑相加，不然考虑相乘
代数式的变形以变为乘法为重点，通常乘法含有更多的信息。
在数学当中，相当于具体的数字来说，未知数的数值是大是小都没有什么实质性的问题，但是，未知数是正数还是负数就有很大的区别。可以把 ($x>1$) 变形为 ($x-1>0$)。
6. 相对比较
通过“减法运算”看出“差距”。
循环小数、高阶等差数列、直线交点的计数
向量分解
7. 归纳性的思考实验
理解代数式时，可以反过来代入具体的数值，加深理解。
先用例子进行归纳思考，然后用数学归纳法来证明。先猜测/发现，然后证明。
与2【探究周期规律】有关。
数列问题
8. 把数学问题图形化
就是中国这边也常提的“数形结合”。图形直观，好多信息一眼就能看出来。
一个关于方程的题目：($|x^2+x-2|+x-k=0$)有($4$)个实数解，求 ($k$) 的取值范围。
下面的那个关于数列极限的题解答不严谨，但作分析还是很漂亮的。
三角方程、不等式
函数（数列）图像与极限
定积分和面积
函数最值
向量内积
均值定理、介值定理
9. 等值替换 （就是充要性）
代数式的变形 对于代数式的替换，需要注意替换部分的取值范围（这就是等价性），如 ($t=x^2-2x-1\geq -2$)
可以先根据必要条件猜出具体答案（范围），再验证它是不是满足充分条件。
作者举了个例子，人们去超市买香蕉的话，首先会去蔬菜水果区，然后再找香蕉的具体位置。
假若说某式子对所有 ($x$) 都成立，那么必然对一些特殊的数值成立。这就是特殊值法的依据。
不仅仅是数学，当我们在思考一些问题的时候，会不会觉得脑子里面乱糟糟的呢？这时候，如果我们能够给想法“命名”，就可以把脑子里面的东西给理顺了。
……
如果能够意识到自己所思考的条件是必要条件还是充分条件，或者是充要条件（等值）的话，那么思路也就更加清晰和明确。 三角方程式
指数与对数方程
10. 通过终点来追溯起点
通常，证明题都会给出相应的结论，也就是说，如果我们不知道该从哪里开始证明的话，不妨通过终点来追溯，先想想终点（结论）的上一步是什么。 后面的几句评论很有价值，那就是如何看待参考答案中现成的证明。

《写给全人类的数学魔法书》的笔记-第120页

题目：在自然数的3位数当中，……
看着不觉得别扭么？
122页
【费马原理】 我是第一次看见有人给【费马大定理】取这个名字的。
123页
安德鲁 · 韦斯——一般写作“怀尔斯”。
题目：证明 ($\sqrt{3}$) 是无理数。
结果下面证明的是 ($\sqrt{2}$) 是无理数。

《写给全人类的数学魔法书》的笔记-第41页

抄的时候，把整个题目都完整抄下来，这样做一个是为了以后在翻看的时候，只要有笔记本就可以了，不用再翻别的东西，再一个就是为了养成仔细阅读的习惯。
在抄答案前，先自己思索一下、把解答回想一遍。
有其他方法的话，也要记下来。
最最核心的就是，要把解题思路掌握了。很多题目和方法都是有共性的，掌握了这点，那瞬间就轻松好多。

《写给全人类的数学魔法书》的笔记-第7页

为了不让大家产生误解，我要说明一下，本书不是一本初高中数学辅导书，从书名《写给全人类的数学魔法书》就能够看出来，这是一本告诉那些在学生时代数学不好的成年人，为什么你的数学会不好，要想学好数学应该掌握哪些学习方法的书。在中国，还是作辅导书比较合适，哪有那么多大人学数学啊

《写给全人类的数学魔法书》的笔记-第63页

遇到不会的问题，看练习册后面的解答没有关系，但最最重要的一点就是，在看完解答之后的那一瞬间，你是怎么想的。
“为什么不会？”“怎么样才能会？”如果你能想到这些，那么你做这些练习题总算是没有白费工夫。就算是到了真正考试的时候，遇到你没见过的类型的题目，也不用怕了，因为你已经真正提升了数学能力。

《写给全人类的数学魔法书》的笔记-第35页

当你困惑的时候，你的“大脑思维能力”也在 不断地提高。思考的有深度才行。要是一直简单的“为什么”、“为什么”，不做拓展或者变化，那应该没什么效果吧？
说点题外话，对于一个老师，尤其是数学老师和物理老师，怎么样来判断他好不好，在这里我教大家一个简单的分辨方法。
当你把“当初提出这个方法的人，到底是怎么想的”这类问题拿出来问他的时候：
“就应该怎么想的。”
“遇到这种问题，就应该这样去解题。”
如果他这样回答你的话，就说明这个老师确实不怎么样。如果遇到像这种让学生们死记硬背的老师，那么你最好就不要再向他请教什么问题了。你向这样的人请教，只有百害而无一利。

《写给全人类的数学魔法书》的笔记-第10页

"学习数学都有哪些诀窍啊？"
每次有人提出这个问题的时候，我都会这样回答：
“学习数学的诀窍就在于‘记不住’这三个字。”
我之所以会这么说，是有深层次含义在里面的。
当人们想要记住某件事情的时候，他就不再思考了。说的有点绝对了，但对于那些死记硬背学数学的学生来说，确实如此。

《写给全人类的数学魔法书》的笔记-第75页

我们在做辅助线之前要想一想，通过辅助线能不能获得更多有用的信息。确实该想一想，不然胡乱做更惨。
但有的东西不做辅助线你还真意识不到。所以啊，做了之后，一时间觉得没有达到目标的时候不要急着放弃，说不定会发现意料之外的东西。

《写给全人类的数学魔法书》的笔记-第18页

凡是有含义在里面的，包含了故事情节的，我们都很难忘掉它。
当我们学习新知识的时候，想一想如何才能把它和已经掌握了的知识联系起来，这样你就不容易忘掉它。
19页，【一次函数】的定义里，最前面是不是漏掉了几个字母？

《写给全人类的数学魔法书》的笔记-第42页