偏微分方程数值解法

作者简介

本书试图用较少的篇幅描述偏微分方程的几种数值方法. 主要内容包括：Sobolev 空间初步, 椭圆边值问题的变分问题, 椭圆问题的有限差分方法, 抛物型方程的有限差分方法, 双曲型方程的有限差分方法, 椭圆型方程的有限元方法, 抛物及双曲问题的有限元方法, 椭圆型方程的混合有限元方法, 谱方法等. 本书内容丰富, 深入浅出, 尽可能地用简单的方法来描述一些理论结果, 并根据作者对有限差分、有限元、混合有限元、谱方法的理解和研究生教学要求, 全面、客观地评价了各种数值计算方法，并列举了一些数值计算的例子, 阐述了许多新的学术观点, 具有较大的学术价值.

书籍目录

《信息与计算科学丛书》序

前言

第1 章引言1

1.1 预备知识1

1.1.1 符号说明1

1.1.2 泛函基础知识3

1.2 Sobolev 空间初步5

1.2.1 广义导数5

1.2.2 Sobolev 空间的定义6

1.2.3 嵌入定理8

1.2.4 迹定理10

1.2.5 等价模定理13

1.3 习题14

第2 章椭圆型方程边值问题15

2.1 Lax—Milgram 定理15

2.2 变分形式及解的存在唯一性16

2.2.1 Dirichlet 问题16

2.2.2 Neumann 边值问题18

2.2.3 混合边值问题20

2.2.4 双调和方程22

2.3 正则性23

2.4 习题24

第3 章椭圆型方程的有限差分方法26

3.1 有限差分法的基础26

3.1.1 网格剖分26

3.1.2 有限差分近似的基本概念27

3.2 一维两点边值问题的有限差分方法29

3.3 二维椭圆型方程的有限差分方法31

3.3.1 Poisson 方程的Dirichlet 边值问题31

3.3.2 Poisson 方程的Neumann 边值问题36

3.3.3 一般的二阶线性椭圆问题的差分格式38

3.3.4 双调和问题的差分格式40

3.4 差分方程解的唯一性和收敛性40

3.4.1 差分方程解的存在唯一性41

3.4.2 差分方程解的收敛性42

3.5 习题45

第4 章抛物型方程的有限差分方法47

4.1 一维抛物型方程的有限差分格式47

4.1.1 一维常系数抛物型方程的Dirichlet 初边值问题48

4.1.2 一维常系数抛物型方程的混合边值问题52

4.2 差分格式的稳定性和收敛性54

4.2.1 基本概念54

4.2.2 判别稳定性的直接法56

4.2.3 判别稳定性的分离变量法57

4.2.4 稳定性与收敛性的关系60

4.3 二维抛物型方程的有限差分格式61

4.3.1 二维古典差分格式61

4.3.2 交替方程隐式差分格式63

4.4 习题64

第5 章双曲型方程的有限差分法67

5.1 一维一阶线性双曲型方程的差分格式67

5.1.1 双曲型方程的初值问题67

5.1.2 双曲型方程的初边值问题71

5.2 一维二阶线性双曲型方程的差分方法73

5.2.1 显示差分格式73

5.2.2 隐式差分格式73

5.2.3 初边值条件的离散74

5.3 二维二阶双曲型方程的有限差分格式75

5.3.1 显式差分格式76

5.3.2 交替方向隐式差分格式77

5.4 习题78

第6 章椭圆型方程边值问题的有限元法80

6.1 两点边值问题的有限元法80

6.1.1 Galerkin 方法与Ritz 方法80

6.1.2 两点边值问题的线性有限元方法86

目录￠ vii ￠

6.1.3 两点边值问题的线性有限元解的误差估计97

6.2 两点边值问题的高次有限元方法102

6.2.1 二次元102

6.2.2 三次元103

6.3 二维椭圆问题的有限元方法105

6.3.1 二维椭圆问题105

6.3.2 二维椭圆问题的有限元逼近格式105

6.3.3 数值例子118

6.4 习题121

第7 章抛物及双曲方程的有限元方法124

7.1 抛物型方程的有限元方法124

7.1.1 半离散有限元逼近126

7.1.2 全离散有限元逼近130

7.2 双曲型方程的有限元方法134

7.2.1 半离散有限元逼近135

7.2.2 全离散有限元逼近137

7.3 习题144

第8 章椭圆问题的混合有限元方法145

8.1 混合有限元基本理论145

8.1.1 基本概念145

8.1.2 混合变分形式148

8.1.3 Babuska—Brezzi 理论149

8.2 二阶椭圆方程的混合有限元方法154

8.2.1 线性椭圆方程的混合有限元方法154

8.2.2 拟线性椭圆方程的混合有限元方法163

8.2.3 线性椭圆方程的超收敛分析165

8.2.4 线性椭圆方程的后验误差估计169

8.3 习题175

第9 章谱方法176

9.1 正交多项式176

9.1.1 正交多项式的定义176

9.1.2 Gauss 型求积公式177

9.2 Jacobi 正交多项式180

9.3 Legendre 正交多项式183

9.4 Chebyshev 正交多项式185

9.5 谱方法的一般形式185

9.5.1 变分形式的导出185

9.5.2 谱逼近的一般形式188

9.6 Galerkin 方法190

9.6.1 数值格式的导出190

9.6.2 稳定性和收敛性191

9.7 配置法193

9.7.1 数值格式的导出193

9.7.2 稳定性和收敛性195

9.8 Volterra 型积分方程的谱配置法200

9.8.1 Volterra 积分方程的Legendre 谱配置法200

9.8.2 弱奇性Volterra 积分方程的Jacobi 谱配置法202

9.8.3 Volterra 积分微分方程的Legendre 谱配置法203

9.9 习题204

参考文献207

索引208

《信息与计算科学丛书》已出版书目211

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