《神奇的数学》章节试读

《神奇的数学》的笔记-如何踢出弧线球？ - 如何踢出弧线球？

大卫·贝克汉姆和罗伯特·卡洛斯在他们的足球生涯中踢出了一些令人惊叹的任意球，这些球仿佛在空中摆脱了物理学的束缚。而在所有这些精彩的任意球中，最令人惊叹的恐怕就是卡洛斯在1997年四国邀请赛上巴西对阵法国时踢出的那个球了。这个任意球的位置离球门有30米远，在这种情况下，大多数球员都会将球开给其他队员，再继续进攻。卡洛斯则不然，他将球摆好，拉开架势准备要射门了。
法国队的守门员法比安·巴特兹在球门前方布好了人墙，他并不真的相信卡洛斯能够直接威胁到他的球门。果不其然，卡洛斯将球开出后，看起来偏得不是一点半点。球门后方的观众纷纷闪躲，以免被飞来的足球砸到。然而，突然之间，足球在最后一刻急剧左转，击中门柱内侧弹进网窝。巴特兹简直无法相信自己的眼睛，他几乎分毫未动。“这球是哪门子的飞法啊？” 巴特兹显得一脸迷茫。
然而，卡洛斯的这脚射门远未超越物理学范畴，他只是充分利用了足球飞行的规律罢了。当足球旋转起来后便会划出令人吃惊的轨迹。如果将球径直踢出，不让它产生任何旋转，那么，它的运动轨迹就像是二维纸面上的抛物线一样。而如果在施加一些旋转，其运动轨迹的数学模型转眼就变成了三维立体的。此时，足球在向上和向下运动的同时，也会发生左转或右转。
那么，到底是什么力将空中的足球牵引至左侧或右侧呢？这是一种被称为马格努斯效应的力，以发现者德国数学家海因里希·马格努斯的名字命名。他在1852年首次提出了对球体旋转效应的解释（德国人一向擅长足球运动），其原理和飞机机翼的提升原理相似。机翼上下的空气流速差导致上下两边的气压差，机翼上方气压较低，下方气压较高，从而制造出一种提升力将机翼拉起。
要让足球从右往左转，卡洛斯在为足球施加旋转力的时候，需要让球的左侧向他本人的方向旋转（围绕贯穿球体的垂直轴心）。这样的旋转就会牵引足球左侧的空气更快地向后流动，从而使左侧的气压降低，这一点和飞机机翼上方发生的状况一样。足球右侧的气压则会得到提升，由于右侧是往前方旋转的，因此空气流过时便会受到一定的阻力从而降低速度。这一气压差便转换为一种把球体从右引向左的力，并最终成功地将球送进球网中。
同样的原理也应用在高尔夫球运动中，能够使小球飞得比伽利略公式所预测的距离还要远。不过在这里，球体的旋转轴是水平的，和球的运动轨迹成垂直角度。在用球杆将小球从球架上击出时，让小球底端向球的飞行方向旋转。这样能减小空气流速，同时根据伯努利效应，增加球体下方的气压，从而制造出上行的力，以抵御重力牵引。事实上，小球在空中穿越时几乎毫无重量可言，就好像球在旋转时给球本身施加援手，助其驶上高速公路。
但还有一个额外因素我们并未提及，这个因素的存在解释了为何卡洛斯的任意球在最后一刻才发生偏转，该因素即球体所遇到的阻力。和前文的旅鼠种群数量的震荡类似，卡洛斯的神奇任意球的秘密也涉及从混沌到常规的转变。一个足球尾端的气流有2种，要么是混沌的，要么是常规的。混沌气流称为湍流，只有当球体运行速度很快时才会产生。常规气流称为层流，它发生在球体速度较慢的时候。这两者之间的转换发生在何时则要取决于球体的形状。
混沌湍流所造成的阻力小于常规“层”流 （图字：Chaotic turbulence- 混沌湍流，Laminar flow-层流）
我们可以轻易体验到由不同风势带来的各种类型的气流。手持旗帜（或一块布条）沿直线向前走，旗帜会在你身后漂浮摇曳。再试试在更大的风速中做同样的事情，或者在开动的汽车中将旗帜挥舞出窗外，或者在强风中手持旗帜能跑多快就跑多快，此时，旗帜肯定会狂飞乱舞。之所以产生上述差异，原因就是在不同速度之下，空气会对旗帜这样的物体发挥不同的作用。在低速的情况下，可轻易预期气流状况，但在高速情况下，气流状况则变化莫测。
这种从湍流到层流的转变会对任意球造成何种影响呢？结果证明，混沌湍流给球体造成的阻力要小得多。因此，当足球快速飞行时，其中的旋转力并不能对飞行方向发挥多少作用，因此，旋转力在大部分飞行路径中被分散了开来。当球体速度转慢，经过临界点后，湍流便让位给层流，后者将带来更大的阻力。就像驾驶员猛踩刹车那样，空气阻力会突然剧增150%。此时，旋转效果便凸显了出来，球体会突然发生剧烈转向。增加的阻力也会加强提升力，使马格努斯效应增加，更有力地把足球引向另一侧。
因此，卡洛斯需要一段足够远的距离，在用力踢球以达到混沌湍流效果后，使足球在越出边线之前减速并转向。当足球以110千米/小时的时速飞出时，周围的气流状况是混沌的，而当行程过半，速度减慢后，湍流则变为层流。刹车被踩下，旋转力跟进，转眼间，巴特兹把守的球门即告失守。
并非只有足球运动受到这个数学法则的影响。我们在乘坐交通工具时也会遇到混沌状态，特别是坐飞机时。大多数人听到“湍流”一词，马上就会联想到飞机在混乱的气流中震荡，空乘人员发出“请系好安全带”的指令。飞机时速远远大于足球的飞行速度，而机翼上方的混沌气流——湍流——增大了飞机的飞行阻力，这就意味着要消耗更多的燃料，从而增加飞行的成本。
一项研究表明，如果能将湍流阻力降低10个百分点，便可让一条航线的盈利水平提升40%。航空工程师们一直在试图通过改变机翼表面机理，降低气流混沌程度。其中一种方法就是在机翼上布满一排排平行纤细的沟槽，其细密程度就像黑胶唱片表面的沟槽一样。另一种方法则是在机翼表面布满微小的牙齿状结构——齿饰。有趣的是，鲨鱼皮肤上也布满着这种天然齿饰。看来，自然界对于如何克服流体阻力的认识要比工程师们更早。
尽管人们对该领域投入了很大的研究热情，但足球或机翼的湍流问题依然是数学中最大的谜团之一。这里有一些好消息：人们已经设法写出了用来描述空气或液体行为状态的公式。但坏消息是：还没有人能解得出这些公式！这些公式并非只对贝克汉姆和卡洛斯等足球运动员来说非常重要，各行各业也都用得着它们。天气预报人员需要它们来预测大气中的气流状况，医生需要它们以理解血液在人体内的流动状况，天体物理学家需要它们以弄清楚银河系中的恒星是如何运动的。所有这一切都受这个相同的数学原理掌控。此时此刻，预报人员、设计师及其他从业者则只能依靠一些近似的推测，而由于这些公式背后隐藏着混沌特性，即使细微差错也会对结果造成巨大影响，所以，他们的推测很可能是完全不着调的。
这些公式被称为纳维－斯托克斯方程，以两位写出它们的19世纪数学家的名字命名。理解这些方程并不容易，以下是其中一个常见写法：纳维－斯托克斯方程如果读者对其中有些符号不太了解的话，也不必大惊小怪，因为并没有多少人真正了解它们！而对于那些懂得数学语言的人来说，这些方程式中隐藏着预测未来的那把钥匙。它们是如此重要，谁能首先解出它们，便可获得一百万美元的奖励。
量子物理学创始人、伟大的德国物理学家维尔纳·海森堡曾经说过：
见到上帝时，我要请教他两个问题：相对论以及湍流。我相信他一定给得出第一个问题的答案。
当卡洛斯被问到他是如何发现这种剧烈转向的秘密时，他回答说：
从小我就反复练习任意球的精准技法。通常在每次训练后，我都会抽出至少一小时时间，进行额外的任意球精准度练习。万事莫不如此，投入的辛苦和汗水越多，你就能得到越多的收获。
我想这同样适用于数学。一个问题越困难，你解出该问题获得的满足感就越强。因此，当数学运算越来越艰深，想想卡洛斯所说的：“投入的辛苦和汗水越多，你就能得到越多的收获。”而当你解开史上最大的一个数学谜团时，所有人都会像巴特兹那样盯着落网的足球，充满迷惑地说道：“天啊，他是怎么做到的？”

《神奇的数学》的笔记-为何美洲蝉中意17这个质数？ - 为何美洲蝉中意17这个质数？

在北美洲的森林里，栖息着一种生命周期十分古怪的蝉类。这些蝉藏于地下长达17年，期间甚少活动，只是吸吮树木的根茎以获得养分。而在第17个年头的五月份，这些蝉只会集体钻出地面，侵入森林，而侵入每英亩（1英亩约为6.07亩）森林的蝉只数量就多达百万。
对数学家来说，最令人好奇的一点就是这类蝉选择的数字17是一个质数。它们为什么要选择在地底下度过17年这个质数的周期呢，这仅仅是巧合吗？似乎并非如此。除了此类蝉以外，还有一些种类的蝉会在地下度过13年的时间，另外也有几种喜欢在地下生活7年。上述这些数字全是质数。而如果一只17年周期的蝉确实提早钻出地面，它不会只提早一年，而通常会提早4年，其生命周期也因此转变成13年，这一点颇为惊奇。似乎冥冥中果真有什么质数仙子在协助这些蝉只物种。然而，到底是什么在作祟呢？