微分方程数值解法

作者简介

《微分方程数值解法(第4版)》是编者在《微分方程数值解法》（第三版）的基础上修订而成的。本次修订的宗旨是加强方法及其应用，考虑到不同院校的需要，仍然保留常微分方程数值解法这一章。为了更方便教学，采取先介绍有限差分法，后介绍GMerkin有限元法，去掉原来的第七章，将离散方程的有关解法与椭圆方程的差分法和有限元法合并，同时增设了一些数值例子，适当删减部分理论内容，突出应用，降低难度。《微分方程数值解法》包括六章，第一章为常微分方程数值解法，第二章至第四章为椭圆、抛物和双曲偏微分方程的有限差分法，第五章、第六章为Galerkin有限元法。 

《微分方程数值解法》是为信息与计算科学专业编写的教材，也可以作为数学与应用数学、力学及某些工程科学专业的教学用书，对于从事科学技术、工程与科学计算的专业人员也有参考价值。

书籍目录

第一章  常微分方程初值问题的数值解法  §1  引论    1.1  一阶常微分方程初值问题    1.2  Euler法    1.3  线性差分方程    1.4  Gronwall不等式  习题  §2  线性多步法    2.1  数值积分法    2.2  待定系数法    2.3  预估-校正算法    2.4  多步法的计算问题  习题  §3  相容性、稳定性和误差估计    3.1  局部截断误差和相容性    3.2  稳定性    3.3  收敛性和误差估计  习题  §4  单步法和Runge-Kutta(龙格-库塔)法    4.1  Tsylor展开法    4.2  单步法的稳定性和收敛性    4.3  Runge-Kutta法  习题  §5  绝对稳定性和绝对稳定域    5.1  绝对稳定性    5.2  绝对稳定域    5.3  应用例子  习题  §6  一阶方程组和刚性问题    6.1  对一阶方程组的推广    6.2  刚性问题    6.3  A稳定性    6.4  数值例子  §7  外推法    7.1  多项式外推    7.2  对初值问题的应用    7.3  用外推法估计误差  习题第二章  椭圆型方程的有限差分法  §1  差分逼近的基本概念  §2  一维差分格式    2.1  直接差分化    2.2  有限体积法    2.3  待定系数法    2.4  边值条件的处理  习题  §3  矩形网的差分格式    3.1  五点差分格式    3.2  边值条件的处理    3.3  极坐标形式的差分格式  习题  §4  三角网的差分格式  习题  §5  极值定理和敛速估计    5.1  差分方程    5.2  极值定理    5.3  五点格式的敛速估计  习题  §6  迭代法    6.1  一般迭代法    6.2  SOR法(逐次超松弛法)  习题  §7  交替方向迭代法  习题  §8  预处理共轭梯度法    8.1  共轭梯度法    8.2  预处理共轭梯度法  习题.  §9  数值例子第三章  抛物型方程的有限差分法  §1  最简差分格式  习题  §2  稳定性与收敛性    2.1  稳定性概念    2.2  判别稳定性的直接估计法(矩阵法)    2.3  收敛性与敛速估计  习题  §3  Fourier方法  习题  §4  判别差分格式稳定性的代数准则  习题  §5  变系数抛物方程  习题  §6  分数步长法    6.1  ADI法    6.2  预-校法    6.3  LOD法  习题  §7  数值例子    7.1  一维抛物方程的初边值问题    7.2  二维抛物方程的初边值问题    7.3  含对流项的抛物方程第四章  双曲型方程的有限差分法  §1  波动方程的差分逼近    1.1  波动方程及其特征    1.2  显格式    1.3  稳定性分析    1.4  隐格式    1.5  数值例子  习题  §2  一阶线性双曲方程组    2.1  双曲型方程组及其特征    2.2  Cauchy问题、依存域、影响域和决定域    2.3  初边值问题  习题  §3  初值问题的差分逼近    3.1  迎风格式    3.2  积分守恒差分格式    3.3  粘性差分格式    3.4  其他差分格式  习题  §4  初边值问题和对流占优扩散方程    4.1  初边值问题    4.2  对流占优扩散方程    4.3  数值例子  习题第五章  边值问题的变分形式与Ritz-Galerkin法  S1  二次函数的极值  习题  82  Sobolev空间初步    2.1  弦的平衡    2.2  一维区间上的sobolev空间Hm(I)    2.3  平面域上的Sobolev空间Hm(G)  习题  §3  两点边值问题    3.1  极小位能原理    3.2  虚功原理  习题  §4  二阶椭圆边值问题    4.1  极小位能原理    4.2  自然边值条件    4.3  虚功原理  习题  S5  Ritz-Galerkin方法  习题  §6  谱方法    6.1  三角函数逼近    6.2  Fourier谱方法    6.3  拟谱方法(配置法)第六章  Galerkin有限元法  §1  两点边值问题的有限元法    1.1  从Ritz法出发    1.2  从Galerkin法出发    1.3  收敛性和误差估计  习题  §2  一维高次元    2.1  一次元(线性元)    2.2  二次元    2.3  三次元  习题  §3  解二维问题的矩形元    3.1  Lagrange型公式    3.2  Hermite型公式  习题  §4  三角形元    4.1  面积坐标及有关公式    4.2  Lagrange型公式    4.3  Hermite型公式  习题  §5  曲边元和等参变换  §6  二阶椭圆方程的有限元法    6.1  有限元方程的形成    6.2  矩阵元素的计算    6.3  边值条件的处理    6.4  举例：Poisson方程的有限元法    6.5  数值例子  习题  §7  多重网格法    7.1  差分形式的二重网格法    7.2  有限元形式的二重网格法    7.3  多重网格迭代和套迭代技术  §8  初边值问题的有限元法    8.1  热传导方程    8.2  波动方程名词索引参考文献

编辑推荐

　　其他版本请见：《微分方程数值解法（第4版）》　 本书是“普通高等学校信息与计算科学专业系列丛书”之一，全书共分7个章节，主要对微分方程数值解法作了介绍，具体内容包括常微分方程初值问题的数值解法、椭圆型方程的有限差分法、抛物型方程的有限差分法、双曲型方程的有限差分法等。该书可供各大专院校作为教材使用，也可供从事相关工作的人员作为参考用书使用。

前言

　　微分方程数值解法在数值分析中占有重要的地位，它以逼近论、数值代数等学科为基础，反过来又推动这些学科向前发展。微分方程数值解法在科学计算、工程技术等领域有极其广泛的应用。自上世纪40年代以来，它已发展成一门庞大的计算技术学科，并早已列为原来计算数学和应用数学专业的基础课之一。与此同时，国内外出版了不少有关专著和教材。在我国，编者受上海理科教材会议（1977年）委托，于1980年与冯果忱合作为计算数学专业编写出版过第一本教材《微分方程数值解法》，1989年修改后出版了第二版，1996年经编者较大修改后又出版了第三版。1998年高校专业目录有了调整，原计算数学专业更名为信息与计算科学专业，教学计划和内容也有些改变（如有些院校建议将常微分方程数值解法合并到逼近论中去讲）。编者根据新情况，特别是微分方程数值解法的新进展，于2005年编写出版了《偏微分方程的数值解法》（高等教育出版社）。原以为这就可以满足本专业的需要了，但实际上，设有信息与计算科学专业的院校分布面很广，不少院校，主要是一些非理科院校仍采用《微分方程数值解法》（第三版），将常微分方程和偏微分方程的数值解法并为一门课讲授。　　第三版出版以来，又过去了十二年，笔者在教学实践中感到这个版本仍有不少缺点。例如原书在应用方面强调不够，特别是缺少说明方法应用的例子。再如原书内容虽已做过精选，但一些院校反映内容仍然偏多，给教学带来一定困难。我希望趁这次再版机会，对这些问题尽可能加以补正和调整。首先，选材以方法为主，指出方法如何在实际中应用，并有针对性地选编了一些数值应用例子。为此我们还参考了J.W.Thomas的书：Numerical Partial Differential Equations（1995）。其次，对原书的理论部分（如收敛性和误差估计）做了适当删减，这些内容在原书中也不属于必学范围。第三，在体系上我们也做了较大变动，将差分法放在Galerkin有限元法前面，删去原书第七章离散化方程的解法，将主要解法与椭圆方程差分法及有限元法各章合并。这样调整后也许更便于教学。

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