Sheaves in topology拓扑学中的层
出版社:北京燕山出版社
出版日期:2004-4
ISBN:9783540206651
作者:Dimca, Alexandru
页数:236页
作者简介
Constructible and perverse sheaves are the algebraic counterpart of the decomposition of a singular space into smooth manifolds, a great geometrical idea due to R. Thom and H. Whitney. These sheaves, generalizing the local systems that are so ubiquitous in mathematics, have powerful applications to the topology of such singular spaces (mainly algebraic and analytic complex varieties). This introduction to the subject can be regarded as a textbook on modern algebraic topology, treating the cohomology of spaces with sheaf (as opposed to constant)coefficients. The first 5 chapters introduce derived categories, direct and inverse images of sheaf complexes, Verdier duality, constructible and perverse sheaves, vanishing and characteristic cycles. They also discuss relations to D-modules and intersection cohomology. Later chapters apply this powerful tool to the study of the topology of singularities, polynomial functions and hyperplane arrangements. Some fundamental results, for which excellent sources exist, are not proved but just stated and illustrated by examples and corollaries. In this way, the reader is guided rather quickly from the basic theory to current research questions, supported in this by examples and exercises.
书籍目录
1 Derived Categories 1.1 Categories of Complexes C*(A) 1.2 Homotopical Categories K*(A) 1.3 The Derived Categories D*(A) 1.4 The Derived Functors of Hom2 Derived Categories in Topology 2.1 Generalities on Sheaves 2.2 Derived Tensor Products 2.3 Direct and Inverse Images 2.4 The Adjunction Triangle 2.5 Local Systems3 Poincaré-Verdier Duality 3.1 Cohomological Dimension of Rings and Spaces 3.2 The Functorf! 3.3 Poincare and Alexander Duality 3.4 Vanishing Results4 Constructible Sheaves, Vanishing Cycles and Characteristic Varieties 4.1 Constructible Sheaves 4.2 Nearby and Vanishing Cycles 4.3 Characteristic Varieties and Characteristic Cycles5 Perverse Sheaves 5.1 t-Structures and the Definition of Perverse Sheaves 5.2 Properties of Perverse Sheaves 5.3 D-Modules and Perverse Sheaves 5.4 Intersection Cohomology6 Applications to the Geometry of Singular Spaces 6.1 Singularities, Milnor Fibers and Monodromy 6.2 Topology of Deformations 6.3 Topology of Polynomial Functions 6.4 Hyperplane and Hypersurface ArrangementsReferencesIndex
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有些人把层论归结为代数几何的范畴，主要是因为代数几何比较畅销，其中确实也用到了层论工具，但层论不仅仅为代数几何服务，它在拓扑与分析中也有非常重要的作用，本质上应该是更接近于拓扑概念。有些人感觉代数几何入门困难，很可能就是在学习代数几何前，缺少了一个纯粹层论上同调的知识背景，下面我们就来展示一下纯粹的层论上同调。让我们先从层（sheaf）的概念开始，实际上，层就是在拓扑空间的开集族上定义的到Abel群（或其他良好代数对象）的映射，可以视为拓扑流形上连续函数的公理化，后者不但说明了层这个概念的直观来源，同时还反映从局部性质到整体行为的基本目的。从比较技术的语言来说，设X是拓扑空间，X上的Abel群预层（presheaf）F可定义为：对任何开子集U，都有Abel群F（U），使得对任何开子集包含V≤U，有Abel群的映射ρ_UV：F（U）→F（V），满足条件：（0）F（∅）= 0（1）ρ_UU：F（U）→F（U）是恒同映射（2）若W≤V≤U是开子集的包含，则ρ_UW = ρ_UVρ_VW这样的预层X是层，若它还满足下列条件：（3）对X内的开集U，{V_i}是的开覆盖，若s∈F（U）限制在任何V_i上为零，则s=0.（4）对X内的开集U，{V_i}是的开覆盖，若对任何i，存在s_i∈F（V_i）满足一致性条件：对任何I，j，s_i与s_j在V_i∩V_j上的限制相同，则存在s∈F（U）,使得s在V_i上的限制是s_i.这里的一致性条件又可以视为粘合性质，假若空间不存在整体性的对象，那么就可以构造出不满足粘合条件的非层的预层。比如对于上面函数层的例子，我们可以稍加变化，取R上的紧支连续函数层，那么对所有有界开区间U_i，其上的单位映射1_(U_i)就是不可粘合的。可定义X上层F的茎为F_x = lim F（U）,其中U取遍X是所有邻域。还可定义X上层F的支集supp（F）为所有满足F|U=0的开子集U的并的补集，即 {x∈X；F_x≠0}的闭包。实际上，任何预层都可以伴随一个层，其方法是：给定预层F，对X上任何开集U，s∈F（U）是U到∪(x∈U)F_x的自然映射。Abel群层态射余核说是预层，但不是层，详见下文中来自复分析的例子。我们还可以用范畴的观点对其做统一刻画，首先在拓扑空间X上定义范畴，其对象是X的所有开子集T，其态射给定为：对U，V∈THom（U，V）= 包含I：U→V，若U≤V；Hom（U，V）= ∅，否则从范畴论的观点来看，预层就是拓扑空间上所有开集的范畴到Abel群范畴（或其他良好代数对象范畴）上的反变函子，层则要这样反变函子还满足条件：对任何开覆盖U=∪U_i，由限制态射诱导的序列0→F（U）→ΠF（U_i）→ΠF（U_i∩U_j）是正合的。X上预层的态射f：F→G指态射族f（U）：F（U）→G（U）,使得对T内任何对U≤V，有res_U f（V）= f（U）res_U：F（V）→G（U）其中左边的res_U：G（V）→G（U），右边的res_U：F（V）→F（U）（请读者自己画交换图），层的态射就是它作为预层的态射。拓扑空间X上的所有层与态射构成Abel范畴，称为X上的层范畴，记作Sh（X）.F是X上的层G的子层，若对任何X的开子集U，F（U）是G（U）的子群且F的限制映射由G诱导。若F是G的子层，则预层U→G（U）/F（U）生成的层是商层G/F.若f：F→G是X上的层映射，定义其核是由ker f（U）= ker{f（U）：F（U）→G（U）}定义的F的子层。f的像是伴随预层im f（U）= im{f（U）：F（U）→G（U）}的层。余核coker f定义为商层G/im（f）.请注意，Im f（U）可能不是层，下面这个来自复分析的例子也许是最简单的。令Y=C\{0}，O_Y是Y上的全纯函数芽层，定义f：O_Y→O_Y为：对任何X内开集U上的全纯函数u，f（u）= du/dz，则对任何有y∈Y有邻域V_y，Coker f（V_y）= 0，但dim Coker f（Y）=1，这里非满射的部分主要由du/dz = 1/z构成的。 X上层的态射f：F→G称为单射，若ker f=0；称为满射，若coker f=0. 进一步，还可以定义层的正合列关系：层F→G→H在G处是正合的，其中f：F→G，g：G→H，若im f = ker g.我们有：层的序列0→F→G→H→0是正合的 iff 对任何x∈X，其茎上的序列0→F_x→G_x→H_x→0是正合的。下面看层上定义的算子，有时也被称为Grothendieck六算子：⊙，Hom，f_*，f^*，f_!与f^! 给定拓扑空间X上的两个R-模层F与G，可以定义：（1）对X内任何开集U，有R-模张量积层：（F⊙G）（U）= F（U）⊙ G（U）（2）对X内任何开集U，同样有R-模Hom层：Hom（F，G）（U）= Hom（F|U，G|U）与张量积层不同的是，Hom层是用限制来定义的（为什么？），其结果就是不满足保茎条件。取X=[0, 1]，B是以Z为茎的常值层，A=B_{0}是在{0}处的摩天大厦层（在{0}上取值Z，其余取值为0），则对任何U=[0,a)，0＜a≤1，有Hom（A，B）（U）= 0，故Hom（A，B）_{0} = 0，但Hom（A_{0}，B_{0}）= Hom（Z，Z）= Z！ 给定两个R-模层F与G与S-模层H，我们有下面的典型同构：Hom（H⊙F，G）= Hom（F，Hom（H，G））= Hom（H，Hom（F，G））给定拓扑空间上的连续映射f：X→Y，它诱导出对应层范畴上的推前函子f_*：Sh（X）→Sh（Y）与拉回函子f*：Sh（Y）→Sh（X）如下：（3）对X上的任何层F，有推前函子f_*（F）给定为：对Y上的任何开集Vf_*（F）（V）= F（f^(-1)（V）（4）对Y上的任何层G，有拉回函子f^*（G）给定为：对X上的任何开集U f^*（G）（U）= lim_(V≥f（U）)G（V）对X上的任何层F与Y上的任何层G，有伴随关系：Hom（F，f^*G）= Hom（f_*F，G）（5）对X上的任何层F，还有带真支集的推前函子f_!：Sh（X）→Sh（Y）给定为：对Y内任何开集Vf_!（F）（V）= {s∈F（f^(-1)（V））；f：|s|→Y是真映射}若i：X→Y是开或闭的嵌入，则对F∈Sh（X），有i_!（F）= F^Y为零截面扩张，即（F^Y）_x = F_x，若x∈X；（F^Y）_x = 0，若x∈Y\X. 而当Y是一点时，f_!（F）就是F在X上的紧支截面集。（6）遗憾的是，作为f_!伴随的f^!：Sh（Y）→Sh（X）却未必存在。对X的开集U，i：U→X为包含，g=fi，取G∈Sh（Y），假若其伴随关系仍然成立，就有f^!（G）（U）= g^!（G）（U）= Hom（Z_U，g^!（B））= Hom（g_!（Z_U），B）= Hom（f_!（Z_U）^X, G）但这样的U→Hom（f_!（Z_U）^X, G）一般不满足粘合条件，所以它不是层！幸运的是，我们可以对这个结论进行修正（基本思想参见【6】的3.2节）最后在导出范畴内定义f^!，相应结论一般被称为Verdier对偶。设f：X→Y是局部紧空间的连续映射，则存在函子f^!：D^+（A_Y）→ D^+（A_X），使得对任何F∈Ob（D^+（A_X）），G∈Ob（D^+（A_Y）），有Hom（F，f^!G）= Hom（Rf_!F，G）有时为了方便，我们还经常省略表示导出函子的符号R.综上所述，对于这个六个算子，我们下面的三对伴随关系： （1）F⊙-与Hom（F，-）（2）f^*与f_*（3）f_!与 f^!下面我们来看层的上同调，它可以通过Godement分解来建立。若F是X上的一个层，则存在层的正合列0→F→I^0（F）→I^1（F）→……其中对任何j，I^j（F）是内射层，并且这个构造是函子的。事实上，这个构造基本平行于内射模的分解，我们可以令I^0（F）：U→∪(x∈U)F_x，这样就将F嵌入了内射层I^0（F），I^0（F）称为F的Godement包络。我们继续这样的操作，把 I^0（F）/F嵌入内射层I^1（F）……，这样得到内射分解I（F）. 记d^i：I^i（F）→I^(i+1)（F），则第i阶（松）层上同调定义为：H^i（F）= Ker d^i / Im d^(i+1)对拓扑空间X上的层F，还可以定义其Cech上同调如下：令U={U_i}_(i∈p)是X的开覆盖，对任何p≥0，记I*p为I的所有p+1个元素的集合，若K={i_0，…，I_p}∈I^p，令U_K=U_0∩…∩U_p，其中各U_k是U_i_k的简单记法，令C^p（U，F）= ∏(k∈I^p)F（U_K）定义上边缘映射d_p：C^p（U，F）→C^(p+1)（U，F）为：对α∈C^p（U，F），K∈{i_0，…，I_p}∈I^(p+1)（d_pα）_K=∑(k=0,…,p+1) （-1）^j α（i_0，…，(i_k)^…，i_(p+1)）U_(i_0，…，i_(p+1))其中(i_k)^表示删除其中的i_k项，由此定义出X上第p阶层F的Cech上同调为：H'^p（X，F）= ker d_p / im d_(p-1)，p=1，2，…H'^0（X，F）= F（X）在拓扑学中，我们有这样的结论：若X是可三角剖分的，则它关于域系数常值层的Cech上同调就是其单纯上同调。这两个层上同调之间是不是一致的呢？为此我们需要引入下面的零调条件：X的开覆盖U={U_i}称为关于层F是零调的，若对任何q ≥ 1，p ≥ 0，H^q（U_0∩…∩U_p，F）= 0，这里各U_k = U_i_k的开覆盖。下面是Larey定理：设X是仿紧拓扑空间，F是X上的层，U是关于F的局部有限零调覆盖，则对任何I，有自然映射诱导的同构H'^q（U，F）= H^q（X，F），q = 0,1,2，…其证明主要是构造对应于覆盖U的特殊分解F^p = ∏i_*（F|U_0∩…∩U_p），由此可以得到分解：0→F→F^1→F^2→……有H^q（X，F^p） = ∏H^q（U_0∩…∩U_p，F|U_0∩…∩U_p）由假设U关于F零调，故H'^q（U，F）= H^q（C（U，F））= H^q（X，F），q = 0,1,2，…由此可得，对可三角剖分空间X与X上的常值层F，其上的诸多上同调是一致的：H^q（X，F）= H'^q（X，F）= H_sing^q（X）= H_simp^q（X） ，q = 0,1,2，…拓扑空间X上的层F称为零调层，若H^p（X，F）=0，若p＞0.拓扑空间X上的层F称为内射层，若Hom（-，F）是右正合的。内射层显然就是零调的，对此我们可以进一步细化。拓扑空间X上的层F称为松层（flabby sheaf），若对任何X的开子集U，限制映射F（X）→F（U）是满射。松层有个典型性质：设0→F→G→H→0是X上层的正合列，若F是松层，则对X的任何开子集U，0→F（U）→G（U）→H（U）→0是正合的。在仿紧拓扑空间上，内射层一定是松层。为此考虑内射层F的Godement包络I^0（F），由内射性可得F是I^0（F）是直和加项，因此可以由I^0（F）是松层导出F是松层。 拓扑空间X上的层称为软层（soft sheaf），若对任何X的闭子集A，限制映射F（X）→F（A）是满射。对软层我们也有类似的性质：若F是松层，则对X的任何闭子集Y，0→F（K）→G（K）→H（K）→0是正合的。 在仿紧空间X上，若A是X的子空间，则对任何层F，有F（A）= lim F（U），其中U取遍包含A是开子集。由此可得，仿紧空间X上的任何松层都是软层，但反之必然。比如X={1/n；n∈N}∪{0}上的连续函数层是软层，却不是松层，这主要是因为开集X\{0}上的连续函数可以扩张到X上。拓扑空间X上的层F称为良层（fine sheaf），若Hom（F，F）是软层。这个定义有下面等价条件（等价性的证明参见【7】的3.6-3.7）1） F是良层2） 对X的任何两个不交闭子集A与B，存在F的自同态限制在A上恒同，限制在B上是0. 3）对任何局部有限的开覆盖{U_i}，存在F的自同态f_i，使得Σf_i=1且对任何i，supp（f_i）≤ U_i 上述性质（3）实际上就是单位分解的性质，良层就是有单位分解的层，因此光滑流形上的微分形式层是良层。设F是X上的内射层，可以证明对X上的任何层G，Hom（G，F）是软层，由此可得内射层一定是良层。利用单位分解，我们还能够证明：良层一定是软层。良层与松层是互不包含的。紧流形上的光滑函数层是良层，但不是松层；开集稠密的连通拓扑空间（比如取Zariski拓扑的实数轴R）上的常值层是松层，但一般不是良层，这两个例子都不是内射层，但却都是软层，因此是零调层。事实上，一般的常值层都不是软层，可剖分的可缩空间上的常值函数层是零调的，但它不是软层。纯粹层论上同调入门指南综上所述，我们的基本路线就是内射层→软层→零调层，其内射层分解可以表现为松层与良层两种具体形式，在存在单位分解的微分或者拓扑流形上，一般就考虑良层路线；而在不存在单位分解的复流形或者是代数簇上，则是需要考虑松层路线。扩展阅读：【1】Bredon G E. Sheaf theory[M]. Springer Science & Business Media, 2012. （在拓扑学基础上讲解层论的教材，本文主要参考书） 【2】Kashiwara M, Schapira P. Sheaves on Manifolds: With a Short History.«Les débuts de la théorie des faisceaux». By Christian Houzel[M]. Springer Science & Business Media, 2013. （偏向于代数分析的层论参考书，技术细节比较丰富） 【3】Dimca A. Sheaves in topology[M]. Springer Science & Business Media, 2004. （拓扑学中的层论，一份很精要的知识小结）【4】Wedhorn T. Manifolds, sheaves, and cohomology[M]. Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, 2015. （微分流形上的层论上同调讲义，比较适合初学者入门）【5】Wells R O. Differential analysis on complex manifolds[M]. Springer Science & Business Media, 2006 （微分几何自带简易层论，也是非常好的入门书）【6】Banagl M. Topological invariants of stratified spaces[M]. Springer Science & Business Media, 2007. （相交上同调中的层论，提供了很多启发性的例子）【7】Godement R. Topologie algébrique et théorie des faisceaux[J]. Publications de, 1958, 1. （早期的层论经典参考书，但还没有见到英文版）原文地址：http://blog.sina.com.cn/s/blog_486c2cbf0102w2zs.html