基础代数几何（第1卷）
出版社:北京世界图书出版公司
出版日期:1998-3
ISBN:9787506236195
作者:I.R.Shafarevich
页数:302页
作者简介
The first edition of this book came out just as the apparatus of algebraic geometry was reaching a stage that permitted a lucid and concise account of the foundations of the subject. The author was no longer forced into the painful choice between sacrificing rigour of exposition or overloading the clear geometrical picture with cumbersome algebraic apparatus.
此书为英文版！
书籍目录
BOOK 1. Varieties in Projective Space Chapter I. Basic Notions 1. Algebraic Curves in the Plane 1.1. Plane Curves 1.2. Rational Curves 1.3. Relation with Field Theory 1.4. Rational Maps 1.5. Singular and Nonsingular Points 1.6. The Projective Plane Exercises to 1 2. Closed Subsets of Affine Space 2.1. Definition of Closed Subsets 2.2. Regular Functions on a Closed Subset 2.3. Regular Maps Exercises to 2 3. Rational Functions 3.1. Irreducible Algebraic Subsets 3.2. Rational Functions 3.3. Rational Maps Exercises to 3 4 Quasiprojectiove Varieties 4.1 Closied Subsets of Projectiive Space 4.2 Regular Functions 4.3 Rational Functions 4.4 Examples of Regual Maps Exercises to 4 ……Chapter Ⅱ Local PropertiesChapter Ⅲ Divisors and Differential FormsChapter Ⅳ Intersection NumbersAlgebraic AppendixRererencesIndex
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精彩书评 (总计1条)
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在一般线性代数群的书籍中，开头总有一个关于代数几何的综述，它主要是从代数方面来介绍代数簇理论，读过之后还是小有心得的，下面就对其代数簇理论做一个小结，假设我们的讨论都在特征为零的代数闭域k上进行。所谓代数簇，说白了就是多项式族的公共零点集。给定多项式环k[x_1,…,x_n]内的一个理想I，所有I内的多项式（可由其生成元代替）的公共零点就称为一个仿射代数簇。记作V（I）；反之，给定任何仿射代数簇X，在X上限制为零的多项式集构成它的定义理想，记作I（V）。代数簇与其定义根理想按照包含关系反序一一对应，并且有I（V（I））=rad（I），这被称为Hilbert's Nullstellenstaz（零点定理）。这里的等号右边为什么是rad（I）内，可以考虑I=（x^n)，V（I）={x^n=0}={x=0},结果I（V（I））=（x）=rad（I）.在仿射代数簇上。我们通常考虑所谓的Zariski topology，即把多项式的零点作为闭集的拓扑。在仿射空间k上，其Zariski拓扑的闭集由有限个点组成，换句话说其开集非常的大，要包括它的几乎所有的点，因此非常的不满足通常的Hausdorff性质，当然通常我们只要用到它的稠密性就足够了。此外，Zarishi拓扑不是可乘的，在k×k上去掉原点，剩下的部分是k×k上Zariski topology的开集，但却不是k上Zariski topology的积拓扑的开集。有了拓扑之后，关于仿射代数簇的一些理论可以在拓扑空间上讨论，最常见的一条是不可约性。拓扑空间X称为不可约的，假若C不能表示成两个真非空闭子集的并。仿射代数簇X是不可约的 iff I（X）的素理想。假若拓扑空间是Noether的（开集满足ACC），那么它可以分解为有限个极大不可约（闭）子空间的并，这实际上就相当于交换代数中Noether rong上的准素分解。除了仿射代数族之外，另一类重要的代数族是射影代数簇，它是射影空间P^n中讨论的。射影代数簇对应于齐次多项式，与分次多项式环中的齐次根理想按照包含关系反序一一对应。为什么要讨论射影代数簇呢？主要是比起仿射空间而言，射影空间是完备的。平面上两条直线可以平行，但在射影平面上两条直线就只能相交了。实际上，我们还有真有个完备代数簇的概念，它在讨论仿射代数群的Borel subgroup时相当重要，正维数仿射代数簇一定不完备，但射影代数簇就必定是完备的。当然啦，多数情况下射影代数簇还得划归到仿射情形处理，下面我们主要还是讨论仿射代数簇。 有些网友可能会强调，即便是加上了Zariski topolopy，你前面所说的也只能叫仿射代数集，要称为仿射代数簇，还得加上环层结构才行。这样的说法是非常严格的，我们可以类比微分几何中的流形概念来理解。单纯一个几何图形，哪怕加上自然的拓扑，依然还够不上流形，非得配上所谓的局部坐标卡才行，这里流形上的局部坐标卡就相当于仿射代数簇上的环层结构。可当我们充分理解流形之后，一般说流形的时候就不再提及它上面的坐标系了，对于仿射代数簇也是类似的。然而，要真正讲清楚什么函数层结构，必须要对层这个概念有充分理解，而层这个概念属于那种相对独立原创的，有着诸多的理解方式。这里我只能简单谈一句，个人喜欢把层理解为拓扑空间上的局部同胚，当然还要求其纤维中有一个群结构。按照层论中逐点定义的思想，我们可以规定仿射代数簇上在x点的局部环O_x为多项式的商f/g，其中g（x）≠0；对任何仿射代数簇的开集U，则规定O（U）为对所有点x∈U的O_x之并。按照范畴论的思想，我们除了研究具体代数对象之外，还要研究它们之间的态射（有时也简称为映射）。下面我们讨论仿射代数群的态射，f：X→Y是仿射代数群的态射，它需要与拓扑和函数层结构相适配。具体来说，就是要求f是连续的，并且对Y内的开集V与U=f^(-1)(V)，当g∈O_Y(V)时，g·f∈O_X(U).由拓扑出发，我们可以定义开态射与闭态射的概念，分别指把开集映为开集和把闭集映为闭集的态射。接下来，我们还要讨论另外两类态射，分别是支配映射与有限映射。仿射代数簇之间的态射f：X→Y是支配的，是指f(X)在Y内稠密，也就是说它几乎就是满射了。在泛函分析中，几乎满射的意义就是共轭唯一，这里我们也可以得到f*：k(Y)→k(X)是单的。此外，稠密的意义在于其正交补与其闭包相同，在代数几何中一般没有正交结构，但至少可以保证在维数上不吃亏：假若X、Y都是不可约的，r = dim X-dim Y，则对Y的任何不可约闭子集W，Z是f^(-1)(W)的支配分支，那么就有dim Z≥dim W + r. 仿射代数簇之间的态射f：X→Y是有限的，是指k[X]在f*k[Y]上是整的，这里整性的意义就在于维数相同。假若说支配映射保证了映射只有“小”余核的话，那么有限映射就保证了它有一个“小”核，假若把这两者结合起来，所得到的有限支配映射就非常接近于同构了。实际上，假若f：X→Y是有限支配的，则它一定是满的闭态射，且有dim X = dim Y. 由此可得，对任何y∈Y，f^(-1)(y）一般都是零维闭集，也就是说只能是有限个点，这就导出了一类典型的有限支配态射：假若仿射代数簇自带有限自同构群G，那么商映射X→X/G就是（不必同构的）有限支配态射。除了有限支配态射外，还有一类非常接近同构的态射称为双有理映射。为此先介绍有理映射，它是有理函数在代数簇中的推广，也是与代数簇的态射直接相配的。具体来说，仿射代数簇之间的态射f：X→Y是有理的，是指（U，f|U）的等价类，其中U是X的开集，f是仿射代数簇之间的态射，等价关系定义为在开集的交集上一致。为什么要这样定义有理映射呢？主要是因为要排除奇点，请看最简单的情形：f：R→R，f（x）=1/x显然是有理映射，但是它只能在开集R\{0}上定义。一般情况下的有理映射，并不是定义在整个代数簇上的，而是只能它的某个开集上定义，因此经常写成类似的二元组的形式。代数簇与支配的有理映射也构成一个范畴，其中的同构就是双有理映射。具体来说，具体来说，仿射代数簇之间的态射f：X→Y是双有理的，是指存在有理映射g：Y→X，使得f·g=id_Y，g·f=id_X. 然而，双有理映射并不一定是同构，比如f：k^2→k^2,f(x,y)=(xy,y)就是双有理映射，但是却既不是单射又不是满射。假若X与Y之间存在双有理映射，那么就称X与Y是双有理等价的，这个定义还等价于其函数域的k-代数同构：k(X)≌k(Y)，同时等价于存在开集X内的U与Y内的开集V，使得U与V同构。由此我们可以看出，双有理同构就是允许忽略一个开集的补集之后的同构，这一点像泛函分析中Fredholm operator，后者是忽略一个有限维空间之后的同构。最后我要稍微提一下，很多学习代数几何的人都是把交换代数作为工具，通过几何直观看发展理论，但Strongart教授更愿意直接从代数观点出发，把其中的几何意义看成是代数理论的剩余价值，这大概应该算是仁者见仁智者见智吧。
精彩短评 (总计12条)
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第一卷就没讲什么东西，还是看52吧。 -
恩，适用。 -
classical代数几何的入门书貌似也很少好的，废话也有点多 -
绝对是好书I.R.Shafarevich是个绝对大牛，这本书是一本很好的代数几何的初级入门书，此书还是美国研究生从书中力挺的一本书，可想本书的地位非同一般。学完本书后，hartshorne的经典教材代数几何是一本后好的后续书，还有一本代数几何原理都是很不错的！ -
好书，代数几何最佳的两三本入门书之一 -
刚开始看，听说这本书不错，与哈兹霍恩那本书的风格很不一样。 -
好东西就是好东西 马上就能找到 -
题目可以拿来练练手，但是觉得还不如直接看Hartshorne -
作者厉害 -
终于把你娶回家 -
是代数几何入门的最好书，经典中的经典 -
老师说这本书的特点是内容丰富，比起其他偏重于用分析或代数方法讲代数几何的书，这本书的方法比较综合性。