《物理学中的群论》章节试读

《物理学中的群论》的笔记-第19页 - 群的基本概念

19 厄米矩阵，若矩阵与其共轭矩阵相等。厄米矩阵对角元素是实数，非对角元素成对地互为复共轭。
21 若R矩阵的转置等于其逆矩阵，则为正交矩阵，行列式等于正或负1.
27 所谓系统的对称性是指它对某种变换保持不变的性质，保持系统不变的变换越多，系统的对称性就越高。量子系统的物理特征由系统的Hamiltonian决定，量子系统的对称性则由保持系统Hamiltonian不变的变换集合来描写。如N个电子系统的Hamilton为其中rj是第j个电子的坐标矢量，∇_j^2是关于rj的拉普拉斯算符，Laplace, U, 是两个电子的库仑势，Coulomb,它只是电子距离的函数，拉普拉斯是标量微分算符，它对系统平移，转动和反演都保持不变。库仑势是电子相对坐标绝对值的函数，也对这些变换保持不变。电子是全同粒子，哈密顿量还对电子间的任意置换保持不变，这个量子系统的对称性质就用系统对这些变换的不变性来描述。保持系统不变的变换称为系统的对称变换，对称变换的集合描写系统的全部对称性质。不管系统的具体性质如何，只要系统具有空间反演对称性，它的定态波函数，即哈密顿量本征函数，总可组合成具有确定宇称状态的函数，这就是说，宇称是该系统的守恒量，可以用宇称来对该系统的定态波函数进行分类。在宇称状态相同的初末间的电偶极跃迁概率为零。这一性质在量子力学中称为电偶极跃迁选择定则。
160 空间转动变换保持原点不变，保持两点间距离不变，保持手性不变。三维幺模实正交矩阵，描写绕三维空间n方向转动w角的变换，按照矩阵的乘积法则，它的集合构成群，称为三维转动群，记作，SO(3)群，其中O代表实正交矩阵，S代表幺模。三维转动群是空间各向同性系统的对称变换群。如果再把空间反演变换σ也包括进来，所有三维实正交矩阵的集合构成三维实正交矩阵群，记叙O(3).
485 SU(3) 群的平面权图方法在粒子物理中有广泛的应用。现代粒子物理理论把基本粒子分为四类，参与强相互作用的粒子称为强子，不能与强相互作用的粒子称为轻子。传递相互作用的粒子为规范粒子，还有一类在理论中专为提供粒子静止质量才引入的粒子，Higgs黑格斯粒子。规范粒子包括传递电磁作用的光子，传递弱作用的中性玻色子和带电玻色子，还有传递强相互作用的胶子。按照现代理论，轻子分三代，电子e和电子中微子ve, r轻子和r中微子，t轻子和t中微子，此外还有它们的反粒子。强子中的费米子称为重子，玻色子称为介子，它们都是由称为夸克的更基本的粒子组成。能量较低的重子由三个夸克组成，能量较低的介子由一对夸克和反夸克组成。目前了解的夸克有18种，它们由颜色和味道量子数来区分。夸克有三种颜色，红，绿，蓝，是颜色SU(3)c的基，通过其规范场，即胶子场发生强相互作用。SU(3)c规范作用会产生颜色禁闭效应。目前只能观测到无色状态，所谓无色态就是SU(3)c变换中的不变态，即单态。由夸克组成的颜色单态主要有两种，一种是三个夸克构成的完全反对称态，由杨图描写，另一种是夸克和反夸克构成的收缩态，也就是（1，1）阶混合张量的迹张量态。夸克有六种味道，分成三代，其中夸克u和下夸克d是第一代，粲夸克c和奇夸克s是第二代，顶夸克t和底夸克b是第三代。
511开西米尔算子：由生成元组成，又能与所有生成元对易的算符，它的本征值是开米西尔。