数学分析

作者简介

《数学分析》 内容丰富，语言精炼，特别注意理论与应用相结合，古典分析方法与现代分析方法相结合。全书共分十六章，可供三学期教学之用。前五章讨论一元微积分，引入了连续函数的积分并得到微积分基本公式，使得不定积分的内容显得较为自然；第六章和第七章讨论黎曼积分及其推广，特点是与数列的极限理论对比发展，并且引入零测集的概念以更透彻地刻画可积函数；第八章至第十章介绍各种级数理论，除了对级数理论中的各种判别法做了更精炼的处理外，还适当安排了若干重要的应用，包括如何处理近似计算，以及三角级数如何用于几何问题和数论问题；第十一章起是多元微积分的内容，特点是较多地使用线性代数的语言来处理多元微分学中的重要结果(包括中值定理、反函数定理、拉格朗日乘数法等)，以及更好地处理积分学中的重要结果(如可积性的刻画、多元积分的变量替换公式、各种积分之间的联系等)。

《数学分析》可作为综合性大学数学系各专业数学分析课程的教材或教学参考书，也特别适用于国家理科基地班的微积分教学，还可供科技工作者参考。

书籍目录

《数学分析》

第一章集合与映射

1.1集合及其基本运算

1.2数的集合

1.3映射与函数

1.4附录：实数系的构造

第二章极限

2.1数列极限

2.1.1数列极限的定义

2.1.2数列极限的基本性质

2.2单调数列的极限

2.3cauchy准则

2.4stolz公式

2.5实数系的基本性质

第三章连续函数

3.1函数的极限

3.1.1函数极限的定义

3.1.2函数极限的性质

3.2无穷小(大)量的阶

3.3连续函数

.3.3.1连续函数的定义

3.3.2间断点与单调函数

3.4闭区间上连续函数的性质

3.4.1最值定理和介值定理

3.4.2一致连续性

3.5连续函数的积分

3.5.1积分的定义

3.5.2积分的基本性质

3.5.3进一步的例子

第四章微分及其逆运算

4.1可导与可微

4.2高阶导数

4.3不定积分

4.4积分的计算

4.4.1换元积分法

4.4.2分部积分法

4.4.3有理函数的积分

4.4.4有理三角函数的积分

4.4.5某些无理积分

4.5简单的微分方程

第五章微分中值定理和taylor展开

5.1函数的极值

5.2微分中值定理

5.3单调函数

5.4凸函数

5.5函数作图

5.6l'hospital法则

5.7 taylor展开

5.8 taylor公式和微分学的应用

第六章riemann积分

6.1riemann可积

6.2定积分的性质

6.3微积分基本公式

6.4定积分的近似计算

第七章积分的应用和推广

7.1定积分的应用

7.1.1曲线的长度

7.1.2简单图形的面积

7.1.3简单立体的体积

7.1.4物理应用举例

7.1.5进一步应用的例子

7.2广义积分

7.3广义积分的收敛判别法

7.4广义积分的几个例子

第八章数项级数

8.1级数收敛与发散的概念

8.2正项级数收敛与发散的判别法

8.3一般级数收敛与发散的判别法

8.4数项级数的进一步讨论

8.4.1级数求和与求极限的可交换性

8.4.2级数的乘积

8.4.3乘积级数

8.4.4级数的重排

第九章函数项级数

9.1一致收敛

9.2求和与求导、积分的可交换性

9.3幂级数

9.3.1收敛半径及基本性质

9.3.2 taylor展开与幂级数

9.3.3幂级数的乘法和除法运算

9.3.4母函数方法

9.4函数项级数的进一步讨论

9.4.1近似计算回顾

9.4.2用级数构造函数

第十章fourier分析

10.1 fourier级数

10.2 fourier级数的收敛性

10.3 parseval恒等式

10.4 fourier级数的积分和微分

10.5 fourier级数的进一步讨论

10.5.1平均收敛性

10.5.2一致收敛性

10.5.3等周不等式

10.5.4 fourier级数的复数表示

10.5.5 fourier积分初步

第十一章度量空间和连续映射

11.1内积与度量

11.2度量空间的拓扑

11.3度量空间的完备性

11.4度量空间与紧致性

11.5连续映射

11.5.1连续映射及其基本性质

11.5.2欧氏的连续映射

11.5.3二元函数及其极限

第十二章多元函数的微分

12.1方向导数和偏导数

12.2切线和切面

12.3映射的微分

12.4中值公式与taylor公式

12.5逆映射定理和隐映射定理

12.6无条件极值

12.7 lagrange乘数法

12.8多元函数微分的补充材料

12.8.1二次型与极值

12.8.2函数的相关性和独立性

第十三章多元函数的积分

13.1二重riemann积分

13.2多重积分及其基本性质

13.3重积分的计算

13.4重积分的变量替换

13.4.1仿射变换

13.4.2一般的变量替换

13.4.3极坐标变换

13.5重积分的应用和推广

第十四章曲线积分与曲面积分

第一型曲线积分

14.2第二型曲线积分

14.3第一型曲面积分

14.4第二型曲面积分

14.5几类积分之间的联系

14.5.1余面积公式

14.5.2green公式

14.5.3gauss公式

14.5.4 stokes公式

14.6附录：riemann-stieltjes积分

14.6.1有界变差函数

14.6.2riemann-stieltjes积分

第十五章微分形式的积分

15.1微分形式

15.2外微分运算

15.3曲面回顾

15.4stokes公式

第十六章含参变量的积分

16.1含参变量的积分

16.2含参变量的广义积分

16.2.1一致收敛及其判别法

16.2.2一致收敛积分的性质

16.3特殊函数

16.3.1 beta函数的基本性质

16.3.2 gamma函数的基本性质

16.3.3进一步的性质

16.3.4 stirling公式

16.4 fourier变换回顾

参考文献

索引

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《数学分析》是高等学校教材之一。

章节摘录

版权页：插图：

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