《现代控制系统》章节试读

《现代控制系统》的笔记-第338页 - 第7章 根轨迹法

之前学自控的时候，一直搞得云里雾里。这次再静下来慢慢看，根轨迹法原来就是用来确定传递函数里一个参数时使用的方法。
其实很简单，把传递函数写成1+KG(s)=0的形式，所谓根轨迹，就是随着K的变化，系统的特征方程的解（即特征根）变化在复平面留下的轨迹。
我们知道，系统要稳定，则必须所有特征根在虚轴的左边。那么就可以通过看根轨迹图来确定特征根，只要在虚轴左边选择特征根，相应就有一个K对应，则一个稳定的系统就被初步确定了。
举例来说，广泛应用的PID控制器，当确定其中两个参数后，剩下一个参数待调节。如果被控对象的传函已知，则很容易可以得到根轨迹。然后可以确定最后一个参数的值，已得到稳定的控制系统。当然，这样的方法有个前提，就是被控对象的模型已知，实际中使用PID都是因为受控对象是黑箱，利用反馈来调节，PID各个参数都有较明确的物理意义，因此很便于工程调试。
不过，目前郭涛在搞一个算法，想利用PID来做速度规划，这样的话，受控对象是确定的。而控制器的指标就是加加速度输出要有界，即稳定。但是具体怎么利用根轨迹法来实现，暂时还没想明白，因为这个系统要输出位移、速度、加速度、加加速度。需要用状态空间模型来描述，具体怎样操作还需要想一想。但，希望就在不远处！

《现代控制系统》的笔记-第487页 - 第9章 频域稳定性

这一章在讲奈奎斯特曲线，看了一整天，云里雾里。终于熬过了一堆演算习题后，看到了这一章的主线。
主要思想其实还是特征方程F(s)=1+L(s)的根（即系统的极点）不要在虚轴右边。只不过之前时域法判断稳定性是利用根轨迹图来描述某一参数变化时，系统特征根随之变化在复平面上留下的轨迹，根据这个轨迹上的点是否在虚轴左边来判断是否稳定。
而频域法则是另外一个思路：用F(s)这个变换把原来的复平面A转换成另外一套坐标的复平面B，在A平面里用一个封闭曲线包围F(s)的Z个零点和P个极点，则对应在B平面里就会有一条封闭曲线包围原点Z-P周（这称之为柯西定理）。那么好了，既然要判断稳定性可以通过是否有系统的极点在虚轴右边，那就可以画一个封闭曲线把A平面里的不稳定区域（即虚轴+右平面）都包括起来，根据柯西定理，通过F(s)变换后看B平面包围原点的周数。这里有一点容易搞混的，F(s)是系统的特征方程，F(s)的零点恰好是系统的极点。奈奎斯特曲线考虑到F(s)=1+L(s)中，开环传递函数L(s)本身常常以具有因式乘积的形式出现，故又做了一个变换，不判断F(s)了，而判断L(s)，就相当于B平面里判断原点改成判断（-1,0）点了。
看到这，我恍然大悟，为什么一直以来控制理论里常常讨论开环传递函数，其实这个名词很容易让人误解，开环传递函数并不是开环系统的传递函数，而是闭环系统的一部分，全称应该是闭环系统的开环传递函数，对应的概念是闭环系统的闭环传递函数。两者的区别，对于单位负反馈系统来说是T(s)=G(s)/(1+G(s))。这样一来，要判断闭环系统稳定性的时候，特征方程就是1+G(s)了。而确实在实际中G(s)的方程都是通过各个环节的串联得到，很容易就写成因式乘积的形式，如果要转换成闭环的特征方程，还需要通分，很麻烦。
另外，这一章有两个概念，一个是带宽。定义是对数幅值增益从低频值降3dB所对应的频率。可以衡量系统复现输入信号的能力，也反应了系统瞬态时间相应的速度。
另一个概念就是裕度。又分为增益裕度和相角裕度。拿奈奎斯特曲线来说，随着系统的增益K的增加，曲线会变化，当它达到临界稳定时，奈奎斯特曲线将在相角为-180°与实轴相交于-1+j0点。那么，如果之前系统是稳定的，那增益裕度就体现了你的K还可以增加多少倍才达到临界稳定。同样的，相位裕度是用来描述相位距离临界稳定还有的富裕程度。在伯德图里更加容易判断裕度，具体方法是：当幅值增益是0dB的时候，对应的相角假如是137°，那相角裕度就是180°-137°=43°；当相角为-180°的时候，对应的增益为-15dB，那么增益裕度就是15dB。
书里说，相角裕度用的更多，因为它和系统的时域响应相关。有一个近似的关系式，是二阶系统里相角裕度和阻尼系数的关系。ξ=0.01Φ，利用这个式子可以大致推算，比如知道系统开环传递函数L(s)的相角裕度是43°，于是闭环系统的阻尼系数近似为0.43，再通过之前阻尼系数和超调量的关系图，可以得到超调量为22%。