《近世代数初步》章节试读

《近世代数初步》的笔记-第1页 - 期末复习

一边学一边写。
　　总体来说，这本书写的很简洁明了，体系清楚，难度在同类书中也不算大。扣了一颗星是因为例证还不是很丰富。
　　代数一直是我最喜欢的数学分支，分析学的基础是实数连续性定理，数论的东西琐碎而且摸不着规律——定理的证明简直是神来之笔，对于我这种天赋不高的人来说实在太难；几何学和代数学其实是一家，自己也很喜欢；离散数学和组合数学呢，因为和计算机关系太大，自己编程基础不好也没好好学，一直有心理障碍。
　　石先生自己曾经在北大工作过，讲课也是相当的好，可以参考另一篇书评。http://book.douban.com/review/1994670/，是石先生在首师大讲课的视频。
　　
　　1. 代数学
　　代数学有抽象的部分，也有具体的部分。因为代数学研究的是态射，抽象的东西其实是最漂亮的东西。
　　具体的内容包括方程的求解（代数基本定理），代数式，矩阵理论。
　　抽象概念包括，Galois/Abel引出的群、环、域和有关于空间的讨论。证明了五次以上的方程没有求根公式，公式解是有条件的。我们熟悉的高等代数课，前半部分是具体的部分：线性方程组和矩阵代数；后半部分是相关的抽象理论：线性空间和线性映射。
　　基本的运算系统是代数的研究对象，就是群环域。
　　
　　代数是什么？直积加上映射，就是代数。
　　群：乘法、结合律、单位元、逆元；对于乘法的封闭。
　　环：加法——结合交换负元零元；乘法——结合律和分配律。
　　域：加法——结合交换负元零元；乘法——交换结合分配单位元逆元。
　　环和域具有两种代数运算，群只定义一种代数运算，
　　
　　阿贝尔群：可交换群（加群，实际上这种运算可以视为加法）。
　　单位元唯一，逆元唯一。群有消去律（同乘逆元的结果）。加群有加法消去律。
　　半群：乘法和结合律。加上单位元：幺半群。
　　
　　环：零环（由0构成的环）；环中不要求多于两个元（域是要求的）；交换环；含单位元的环；左零因子/右零因子。
　　
　　2. 群
　　置换，对换，奇置换，偶置换，对称群，交错群，正交变换群。
　　共轭变换，共轭元。
　　定理：任意置换可以表达成若干不相交的轮换的乘积，且除去次序外这些轮换是唯一的。
　　对称性变换，多项式的轮换对称，晶体对称性定律（限制晶体的主轴类型，旋转矩阵法），点群（点操作），空间群（230种）。
　　子群和子群的判定：封闭、单位元、逆元。子群判别的充分必要条件：一步推出子群。
　　同态、同构、自同构、像、核。
　　
　　今天又开始写，觉得这个书有问题了：概念的引出不够简洁。推荐丘维声老师的《抽象代数基础》。
　　
　　复习：
　　
　　1.general linear group; special linear group; n阶正交群，特殊n阶正交群。
　　2.共轭变换的掌握。
　　3.加群
　　4.轮换的性质，把轮换和置换拆成对换去判断奇偶性。
　　5.左右陪集（coset），集合的陪集划分。等价关系。
　　6.拉格朗日定理，子群在群中的指数，商群的概念：陪集的群。
　　7.循环群，元素的阶。素数阶群一定为循环群。
　　8.利用群论证明费马小定理。
　　9.环中有零因子，没有消去律
　　10.群作用，同态的核与像，群轨道，稳定化子，中心，中心化子。共轭类，类方程。
　　11.两个有限阶循环群同构当且仅当它们的阶相等。
　　12.循环群的子群均为循环群。
　　13.同态的核--正规子群。交换群的每个子群均为正规子群。指数为2的子群是正规子群。
　　14.商群G/N为G的同态像。