数论

作者简介

《数论:从同余的观点出发》依据作者多年数论教学心得和研究成果写成。从同余的定义和观点出发，前五章依次讲述整除的算法、同余的性质、同余式理论、平方剩余、原根和n 次剩余，后两章是有关素数幂模和整数幂模的同余式，不在通常的初等数论范畴却伸手可触。本书的另一特点是，每节内容都有引人入胜的补充读物，借此拓宽读者的知识面和想象力。这些读物或讲述了某一数论问题的初步知识，如佩尔方程和丢番图数组、阿廷猜想和特殊指数和、椭圆曲线和同余数问题、自守形式和模形式；或介绍了整数理论的新问题和新猜想，如完美数问题、格雷厄姆猜想、哥德巴赫猜想、abc 猜想、3x+1 问题、华林问题、欧拉数问题、素数链问题、卡塔兰猜想、费尔马大定理等及其延拓。此外，本书重视语言描写，对背景知识和图表予以关注。

《数论:从同余的观点出发》可供数学及相关专业的大学生、研究生用作教材或参考书，也适合广大的业余数论爱好者和研究者阅读浏览。

书籍目录

前言
第一章整除的算法
1.1 自然数的来历【完美数与亲和数】
1.2 自然数的奥妙【镶嵌几何与欧拉示性数】
1.3 整除的算法【梅森素数与费尔马素数】
1.4 最大公因数【格雷厄姆猜想】
1.5 算术基本定理【哥德巴赫猜想】
习题
第二章同余的概念
2.1 同余的概念【高斯的《算术研究》】
2.2 剩余类和剩余系【函数[x] 和fxg】
2.3 费尔马{欧拉定理【欧拉数和欧拉素数】
2.4 表分数为循环小数【可乘函数】
2.5 密码学中的应用【广义欧拉函数】
习题
第三章同余式理论
3.1 中国剩余定理【斐波那契兔子问题】
3.2 威尔逊定理【高斯未证的定理】
3.3 丢番图方程【毕达哥拉斯数组】
3.4 卢卡斯同余式【覆盖同余式组】
3.5 素数的真伪【素数之链】
习题
第四章平方剩余
4.1 二次同余式【高斯环上的整数】
4.2 勒让德符号【表整数为平方和】
4.3 二次互反律【n 角形数与费尔马】
4.4 雅可比符号【阿达马矩阵和猜想】
4.5 合数模同余【正十七边形作图法】
习题
第五章原根与n 次剩余
5.1 指数的定义【埃及分数】
5.2 原根的存在性【阿廷猜想】
5.3 n 次剩余【佩尔方程】
5.4 合数模的情形【丢番图数组】
5.5 狄利克雷特征【三类特殊指数和】
习题
第六章素数幂模同余
6.1 伯努利数与多项式【库默尔同余式】
6.2 荷斯泰荷姆定理【椭圆曲线】
6.3 拉赫曼同余式【同余数问题】
6.4 一类调和和同余式【自守形式和模形式】
第七章整数幂模同余式
7.1 拉赫曼同余式推广【abc 猜想】
7.2 莫利定理及推广【新华林问题】
7.3 雅可布斯坦定理推广【新费尔马问题】
7.4 多项式系数同余【多项式系数非幂】
10000 以下素数表
参考文献

编辑推荐

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章节摘录

版权页：   插图：   需要指出的是，密钥e，N是可以公开的，只要他保存好解钥d。任何人都可以按上述加密程序向他发送密码，只有他本人可以读出送来的信息，而其他人要想解出几乎不可能。因为要想求出d，就必须知道φ(N)，那就需要知道Ⅳ的素因数P，q。当P，q的位数足够大，比如超过100位，按照现有的数学方法，即使是利用最高级的计算机，也不可能在有限的时间内求出φ(N)的值，因而不可能知道d。随着双钥密码体系的建立，使用了多年的单钥密码体系就被弃用了。 RSA不仅保密性能超强，且可以让很多客户使用，这是因为Ⅳ和φ(N)都足够大，可以有很多对ei，di，满足eidi三1(modφ(N))，i=1，2，…。 可是，随着时间的推移，密码学专家不断想出新的招数来解破RSA密钥，办法是将问题分交给不同的计算机去做。他们想出的新方法有二次筛法、数域筛法、椭圆曲线算法，等等。其中二次筛法是利用二次剩余和连分数的技巧来分解整数。不过目前，还没有真正威胁到RSA体制，即大数分解方案的安全性。这里面有个原因，虽然计算机的性能越来越好，解密的方法似乎变得容易起来。不过与此同时，可求得的大素数位数也越来越高，又可以用来设置保密性更强的密钥。 20世纪90年代以来，美国数学家利用离散数学中Hash（散列）函数来设计密码体制，取得了非常好的效果，在政府和金融机构应用极广。比如1991年，RSA中的R——里维斯设计了所谓MD5算法，被认为坚不可催。可是到了2004年，这个算法却被中国数学家王小云（1966-）破解。次年，她又与美籍华裔计算机理论家姚期智（1946-）夫妇合作，破解了美国国家安全局设计的国际通用的SHA—1算法，轰动了世界。这些结果表明，电子签名从理论上讲是可以伪造的。 以上MD和SHA分别是信息摘要(Message-Digest)算法和安全散列算法(Secure Hash Algorithm)的简称。除了应用于密码学以外，数论还可以用在纠错码(error correcting code)上，这是一种在纠错过程中能自动进行检错和纠正差错的代码。例如，在每一套录音设备里，之所以能精确地复制声音，原因就在于它有纠错码。无论是CD产品还是手机，都需要给声音编码，这方面得益于数论在纠错码中的应用。

图书封面

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