数学桥

作者简介

《数学桥:对高等数学的一次观赏之旅》是一本独一无二的数学书。它不是教科书，也不是普及书，而是一本介于这两者之间的“普及性教科书”。它以高中数学为起点，用一种娓娓道来、徐徐展开的方式，向你展示大学数学中的核心内容和亮点，让你欣赏许多令人惊叹的结果，领略它们的自然之美和实用价值。《数学桥:对高等数学的一次观赏之旅》好比一座数学桥，它帮你从以重复性解题操练为基础的高中数学，平安顺利地过渡到以系统性思想探究为主旨的高等数学。如果你即将或正在学习高等数学，那么《数学桥:对高等数学的一次观赏之旅》将是你学习道路上的好伴侣；如果你已经学完了高等数学，那么不妨也来浏览一下，你很可能会说：“哎呀，原来是这么回事！”

书籍目录

序言

1.数

1.1 计数

1.1.1 自然数

1.1.1.1 自然数的构造

1.1.1.2 算术

1.1.2 整数

1.1.2.1 零和负整数的性质

1.1.3 有理数

1.1.4 序

1.1.4.1 使N，Z和Q有序

1.1.5 从一到无穷大

1.1.5.1 无穷集的比较

1.1.6 无穷算术

1.1.7 超越

1.2 实数

1.2.1 怎样产生无理数

1.2.1.1 实数的代数描述

1.2.2 有多少个实数

1.2.3 代数数和超越数

1.2.3.1 超越数的例子

1.2.4 连续统假设和更大的无穷大

1.3 复数及其高维同伴

1.3.1 复数i的发现

1.3.2 复平面

1.3.2.1 复数在几何中的应用

1.3.3 棣莫弗定理

1.3.4 多项式和代数基本定理

1.3.4.1 多项式方程的求解

1.3.5 还有其他的数吗

1.3.5.1 四元数

1.3.5.2 凯莱数

1.4 素数

1.4.1 计算机、算法和数学

1.4.2 素数的性质

1.4.3 素数有多少个

1.4.3.1 素数的分布

1.4.4 欧几里得算法

1.4.4.1 欧几里得算法的速度

1.4.4.2 连分数

1.4.5 贝祖引理和算术基本定理

1.5 模整数

1.5.1 模为素数的算术

1.5.1.1 一个关于素数、的公式

1.5.1.2 费马小定理

1.5.2 RSA密码

1.5.2.1 建立RSA体制

1.5.2.2 一种RSA密码体制

2.分析

2.1 无穷极限

2.1.1 三个例子

2.1.1.1 阿基里斯和乌龟

2.1.1.2 连续复合利率

2.1.1.3 方程的迭代解法

2.1.2 极限的数学描述

2.1.2.1 收敛的一般准则

2.1.3 极限应用于无穷和

2.1.3.1 一个例子：几何级数

2.2 无穷和的收敛与发散

2.2.1 调和级数

2.2.2 收敛判别法

2.2.2.1 比较判别法

2.2.2.2 交错级数判别法

2.2.2.3 绝对收敛

2.2.2.4 比率判别法

2.2.3 幂级数及其收敛半径

2.2.3.1 确定收敛半径

2.2.4 无穷级数的重新排列

2.3 实函数

2.3.1 实值函数的极限

2.3.2 连续函数

2.3.3 微分

2.3.3.1 例子

2.3.3.2 微分中值定理

2.3.3.3 洛必达法则

2.3.4 面积与积分

2.3.5 微积分基本定理

2.4 对数函数和指数函数以及e

2.4.1 Inx的定义

2.4.2 expx的定义

2.4.3 欧拉数e

2.4.3.1 e的无理性

2.5 幂级数

2.5.1 泰勒级数

2.5.1.1 作为警示的例子

2.5.1.2 实函数的复扩张

2.6 与分析学观点下的三角学

2.6.1 角度与扇形面积

2.6.1 的一个级数展开式

2.6.2 正切、正弦和余弦

2.6.2.1 用幂级数定义sinx和cosx

2.6.3 傅里叶级数

2.7 复函数

2.7.1 指数函数和三角函数

2.7.2 复函数的几个基本性质

3.代数

3.1 线性性

3.1.1 线性方程

3.1.1.1 线性方程组

3.1.2 向量空间

3.1.2.1 直线、平面和其他向量空间

3.1.2.2 向量空间的子空间和交

3.1.2.3 向量的物理学例子

3.1.2.4 有多少个向量空间

3.1.2.5 向量的进一步例子

3.1.3 将向量空间投入应用：线性映射和矩阵

3.1.3.1 再探联立线性方程组

3.1.3.2 矩阵代数的性质

3.1.4 线性方程组

3.1.4.1 齐次方程

3.1.4.2 线性微分算子

3.1.4.3 非齐次线性方程

3.1.4.4 求方阵的逆阵

3.1.4.5 行列式

3.1.4.6 行列式的性质

3.1.4.7 方阵的求逆阵公式

3.2 最优化

3.2.1 线性约束

3.2.2 单纯形法

3.2.2.1 一个例子

3.2.2.2 食谱问题

3.2.2.3 运输问题

3.2.2.4 博弈

3.3 距离、长度和角度

3.3.1 纯量积

3.3.1.1 标准几何与欧式纯量积

3.3.1.2 多项式和纯量积

3.3.2 一般纯量积

3.3.2.1 柯西-施瓦茨不等式

3.3.2.2 长度和距离的一般性质

3.3.2.3 不是由纯量积导出的长度

3.4 几何与代数

3.4.1 二维空间中的二次型

3.4.2 三维空间中的二次曲面

3.4.3 特征向量和特征值

3.4.3.1 求特征向量和特征值

3.4.3.2 实对称矩阵的特殊性质

3.4.3.3 再探二次型

3.4.3.4 例子再探

3.4.4 等距变换

3.4.4.1 平移

3.4.4.2 行列式、体积和等距变换

3.5 对称

3.5.1 对称群

3.5.1.1 群公理

3.5.1.2 再说四元数

3.5.1.3 模为p的整数乘法

3.5.2 对称中的对称 —— 子群

3.5.2.1 有限群的特殊性质

3.5.3 群作用

3.5.4 二维和三维的墙纸

3.5.4.1 点阵上的墙纸

3.5.4.2 贴墙纸

3.5.4.3 对晶体学的应用



4.微积分与微分方程

4.1 微积分的起因和内容

4.1.1 加速度、速度和位置

4.1.1.1 积分

4.1.2 多亏牛顿

4.1.2.1 一种单摆

4.1.2.2 从单摆到复摆

4.1.2.3 基于牛顿定律的微积分的发展

4.2 线性常微分方程

4.2.1 线性常微分方程的全解

4.2.2 非齐次方程

4.2.3 解齐次线性方程

4.2.3.1 常系数方程

4.2.4 幂级数解法

4.2.4.1 贝塞尔函数

4.2.4.2 一般的级数求解法

4.3 偏微分方程

4.3.1 偏导数的定义

4.3.2 弦振动方程

4.3.2.1 波动解释

4.3.2.2 分离变量法

4.3.2.3 初始条件和边界条件

4.3.2.4 弦乐器

4.3.3 扩散方程

4.3.3.1 太阳能加热

4.3.4 从实数看复导数

4.3.4.1 拉普拉斯方程

4.4 微积分与几何相遇

4.4.1 切向量与法向量

4.4.2 梯度、散度和旋度

4.4.3 面积分与体积分

4.4.3.1 高斯积分

4.4.3.2 散度的几何解释

4.4.3.3 旋度的几何解释

4.4.3.4 重访傅里叶

4.4.3.5 散度定理的应用

4.4.4 拉普拉斯方程和泊松方程

4.4.4.1 解拉普拉斯方程

4.4.4.2 泊松方程

4.4.4.3 边界条件与解的唯一性

4.5 非线性性

4.5.1 关于流体运动的纳维-斯托克斯方程

4.5.2 微分方程的扰动

4.5.2.1 弹道学

4.5.2.2 单摆并不简单

4.6 定性方法：不求出解的解法

4.6.1 解微分方程意味着什么

4.6.2 相空间与轨道

4.6.3 画出相空间轨道图

4.6.3.1
一阶非线性微分方程

4.6.3.2 二阶非线性微分方程

4.6.3.3 披着虎皮的简谐运动

4.6.3.4 非线性方程的例子

4.6.4 不动点附近的一般流型

4.6.5 例子：猎食方程

4.6.6 相互竞争的食草动物

5.概率

5.1 概率论的基本概念

5.1.0.1 生日相同问题

5.1.1 两个作为警示的例子

5.1.1.1 比赛中止问题

5.1.1.2 门和山羊的问题

5.2 严格的概率论

5.2.1 容斥公式

5.2.1.1 外套问题

5.2.2 条件概率

5.2.2.1 贝叶斯统计学家

5.2.3 全概率定律和贝叶斯公式

5.2.3.1 药物检测的可靠性

5.3 样本空间上的函数：随机变量

5.3.1 二项分布

5.3.2 二项分布的泊松近似

5.3.2.1 噪声数据中的误差分布

5.3.3 泊松分布

5.3.3.1 泊松分布的解释

5.3.4 连续型随机变量

5.3.4.1 正态分布

5.3.4.2 均匀分布

5.3.4.3 伽马随机变量

5.3.5 概率在素数中的一个应用

5.3.6 平均化与期望

5.3.6.1 在二项分布和泊松分布的试验中我们应该期望得到什么

5.3.6.2 在正态分布的试验中我们应该期待得到什么

5.3.6.3 收集问题

5.3.6.4 柯西分布

5.3.7 离散程度与方差

5.3.7.1 期望与方差的一种动力学解释

5.4 极限定理

5.4.1 切比雪夫不等式

5.4.1.1 切比雪夫不等式给出了最好界限

5.4.1.2 将对平均值的偏差标准化

5.4.1.3 标准化随机变量

5.4.2 大数律

5.4.2.1 蒙特卡洛积分法

5.4.3 中心极限定理和正态分布

5.4.3.1 中心极限定理



6.理论物理

6.1 牛顿的世界

6.1.1 行星的绕日运动

6.1.1.1 变换运动方程

6.1.1.2 问题的解

6.1.1.3 牛顿的反引力

6.1.2 证明能量守恒

6.1.3 其他类型的力导致行星灾难

6.1.4 地球、太阳和月亮？

6.2 光、电、磁

6.2.1 静电

6.2.1.1 关于一个磁体的方程

6.2.2 电流与磁性

6.2.3 关于电磁波的麦克斯韦方差

6.2.3.1 真空中电磁波方程的解

6.3 相对论与宇宙的几何

6.3.1 狭义相对论

6.3.1.1 长度收缩与时间延缓

6.3.1.2 作为一种时空旋转的洛伦茨变换

6.3.1.3 作为时空对称群的洛伦茨变换

6.3.1.4 相对行动量

6.3.2 广义相对论和引力

6.3.2.1 施瓦氏黑洞

6.4 量子力学

6.4.1 量子化

6.4.1.1 波粒二象性

6.4.2 量子力学的数学系统

6.4.2.1 基本方程

6.4.3 量子力学的基本设置

6.4.3.1 陷进一维盒子的粒子

6.4.3.2 动量本征态

6.4.3.3 推广到三维空间

6.4.4 海森伯的不确定性原理

6.4.4.1 不确定性在起作用

6.4.5 接下来是什么

附录A 给读者的练习

附录B 阅读进阶

附录C 基本数学知识

附录D 字母与符号

译者后记

图书封面

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