大学数学教程微积分
出版社:高等教育
出版日期:2007-1
ISBN:9787040108057
作者:刘建亚 编
页数:331页
作者简介
为了适应新世纪我国高等教育迅速发展的形势和实行学分制的需要，满足新时期高等教育人才培养拓宽口径、增强适应性对数学教育的要求，山东大学数学与系统科学学院从2000年开始按照教育部《高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划》的精神和要求，在学院领导的亲自参与下，组织部分教师对非数学类专业大学数学的课程体系进行了认真深入的研究和认证。针对大学数学是高校非数学类专业所有大学生应当具有的素质，又考虑到不同专业的要求深浅不同、内容多少各异的实际情况，制订了适应这种情况的新课程体系。新课程体系的主要特点是采取平台加模块的结构，整个大学数学的课程共分三个平台，不同平台反映了不同专业对数学知识的不同层次、级别要求，体现数学知识结构和大学生认知结构的统一。鉴于人类认识是从感性到理性，由易到难，由浅入深的，因此第一平台（包括微积分（一）、线性代数和概率统计）是体现高等数学的普及和基础，体现所有各专业应当具有的数学素质教育，主要侧重基本概念和基本方法，加强基本运算，努力渗透基本数学思想；第二平台是对第一平台基本概念的加深和知识方法的拓宽，在本平台中还适当体现出数学理论的系统性和严谨性；第三平台（包括数学建模、数值分析、数理方程、复变函数和积分变换、运筹学等）则是为满足某些对数学知识和方法有特殊要求的专业而设置。
书籍目录
第1章 函数、极限和连续§1．1函数§1．2极限§1．3连续§1．4用MATLAB求极限第2章 导数与微分§2．1导数的概念§2．2导数的基本公式与运算法则§2．3高阶导数、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数§2．4微分§2．5用MATLAB求导数第3章 中值定理和导数的应用§3．1微分中值定理§3．2洛必达法则§3．3函数的单调性、极值和最大最小值§3．4曲线的凹凸性和函数作图*§3．5弧微分曲率§3．6用MATLAB求极值*第4章 多元函数微分学§4．1多元函数的概念及其极限和连续§4．2偏导数与全微分§4．3多元复合函数和隐函数的微分法§4．4多元函数的极值与最值§4．5用MATLAB求偏导数第5章 一元函数积分学及其应用§5．1不定积分§5．2定积分§5．3定积分应用§5．4用MATLAB计算积分*第6章 二重积分§6．1二重积分的概念和性质§6．2二重积分的计算§6．3二重积分的应用§6．4用MATLAB计算二重积分第7章 常微分方程及差分方程§7．1微分方程的基本概念§7．2几种常见的一阶微分方程§7．3高阶微分方程**§7．4欧拉方程和常系数线性微分方程组§7．5微分方程的应用*§7．6差分方程简介§7．7用MATLAB解常微分方程习题参考答案附录A 数学软件MATLAB简介附录B 微积分发展史中若干著名数学家的简介附录C 极坐标简介附录D 数学试验教学软盘
前言
按传统的观点，在大学里除数学类各专业外，数学只是理、工等类专业学生的基础课，是学习后续课程和解决某些实际问题的工具。随着社会的进步、科学技术的发展和高等教育水平的不断提高，数学已渗透到包括经济、金融、信息、社会等各个领域，人们越来越深刻认识到过去看法的不足，越来越深刻认识到数学教育在高等教育中的重要性。数学不仅是基础、是工具，更重要的，数学是探索物质世界运动机理的重要手段，是一种思维模式--数学思维模式，数学教育是培养大学生理性思维品格和思辨能力的重要载体，是开发大学生潜在能动性和创造力的重要基础；同时，数学又是一种文化--数学文化，它显示着千百年来人类文化的缩微景象，也是当代大学生必须具备的文化修养之一。因此大学数学不仅是理、工类学生应该学习，而且也是大学各类专业都应该学习的课程，数学教育是大学生素质教育的重要组成部分。当然，不同类型专业对数学的要求和内容会有所不同。 为了适应新世纪我国高等教育迅速发展的形势和实行学分制的需要，满足新时期高等教育人才培养拓宽口径、增强适应性对数学教育的要求，山东大学数学与系统科学学院从2000年开始按照教育部《高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划》的精神和要求，在学院领导的亲自参与下，组织部分教师对非数学类专业大学数学的课程体系进行了认真深入的研究和认证。针对大学数学是高校非数学类专业所有大学生应当具有的素质，又考虑到不同专业的要求深浅不同、内容多少各异的实际情况，制订了适应这种情况的新课程体系。新课程体系的主要特点是采取平台加模块的结构，整个大学数学的课程共分三个平台，不同平台反映了不同专业对数学知识的不同层次、级别要求，体现数学知识结构和大学生认知结构的统一。鉴于人类认识是从感性到理性，由易到难，由浅入深的，因此第一平台（包括微积分（一）、线性代数和概率统计）是体现高等数学的普及和基础，体现所有各专业应当具有的数学素质教育，主要侧重基本概念和基本方法，加强基本运算，努力渗透基本数学思想；第二平台是对第一平台基本概念的加深和知识方法的拓宽，在本平台中还适当体现出数学理论的系统性和严谨性；第三平台（包括数学建模、数值分析、数理方程、复变函数和积分变换、运筹学等）则是为满足某些对数学知识和方法有特殊要求的专业而设置。
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我先来八卦一段吧。我本科的时候在SDU，刘建亚时任数学院院长。数学在SDU是最好的一门课程了，当时排在全国前十以内。我是学物理的，本一本二时候讲述微积分的老师也是数学院的，那时候刘建亚院长已经不怎么带本科生的课了，自然也没有机会去听他的课。刘的学术生涯在我读本科时候还是发展良好的，有一年还去了普林斯顿高等研究院做访问学者。那几年，展涛校长（2000年，年仅37岁的展涛出任已有百年辉煌历史的山东大学校长，是当时最年轻的全国性老牌重点大学校长。刘建亚院长博士论文的执行导师，潘承洞院士的嫡传弟子兼前女婿）带领下的SDU正处于高速发展的阶段。当时数学院的王小云还获得中国科学院第13次院士大会和中国工程院第8次院士大会上以“国际通用Hash函数的破解”获颁陈嘉庚科学奖信息技术科学奖。无论是在数论还是密码学以及金融数学，SDU的数学院都还是相当的牛X的。刘院长直到展涛校长调吉大之前一直有学术上的合作，发文章都有展校长名字的～自从校长调离之后，刘的文章近几年好像少了许多。可能彭实戈院士名声太旺了吧～不过我当时沉迷于费曼这个迷人的妖怪的半句话中——Physics is like sex，根本没有看到数学的貌美如花。八卦完毕，言归正传。这本书对于微积分基础理论的解释让人非常的迷惑，直让人怀疑并不是院长本人写的。如果对微积分发展史多了解一些的话，就很容易看出这本书的问题所在。书中的体系是从序列极限到连续极限，然后到导数、微分、积分。在对微分和积分做严格定义的时候（极限基础下，不涉及测度论），作者大约是直接抄写了莱布尼茨对于微积分的解释，并且连带了很多术语的引进、定义，也都是莱布尼茨最初的那些，对于牛顿和莱布尼茨的争执，自然是中国人自古而有的中庸之见，未见作者对于这场争执的评述；而在直观解释上，尤其是应用于物理上的体例，引入了牛顿的解释。这些乱七八糟的解释让人看起来非常头大。况且这些解释根本就是不严格、不全面、未涉及根本的。来补充一点数学史的东西吧。先说在十七世纪之前，数学家和天文学家等等这些欧洲的哲学数学天文学学者是怎样的一个存在呢？柯朗的描述是：在十七世纪的欧洲，分散居住着许多有志的科学家，它们多数是在学院的外面（当时的欧洲早已经有大学的雏形，而且在教会的领导下，有了很大的发展；文艺复兴的浪潮正也正在接近），顽强地继续着伽利略和开普勒的数学工作。通过信件往来和旅行，这些人保持着密切的联系。这样看来那时候的科学家就像异教徒或者黑社会一样，怀抱利器，郁郁适兹土。事实上，自公元300年以来，对于教会来说，科学家，尤其是天文学家和数学家已经与异教徒无异了（虽然当时的教会都有数学家和天文学家，那是占星术师等职业的一种存在）。十七世纪的数学研究环境，也不像今天如此的开放和风起云涌，在教会的风行和哲学的虚无缥缈下，甚至数学这种学术研究，都有诡异或者神秘的成分。自古希腊以来的那种清晰和严格的推理方法似乎已经被抛弃。莱布尼茨其实是个业余的数学家，他的本职工作是才华横溢的律师，外交官和哲学家。牛顿在海峡对岸因为时任造币局局长和皇家科学院院长有鼎盛的名声，而莱布尼茨是他那个时代最富有活力和多才多艺的人物中的一个。他接触微积分只不过是一次外交时去巴黎，在惠更斯那里短时间便掌握了这种新数学的精髓，其后不久莱布尼茨就发表了日后是近代微积分核心的文章。而这也说明了为什么莱布尼茨在微积分中引入了大量的全新的符号和形式；当然全部解释这样的结果也应该结合上段所说的当时的学术研究环境。当时莱布尼茨和牛顿以及欧洲几乎全部的数学家，也没有给微积分一个十分精确的严格的数学定义。“等到清楚地认识到只有极限（而不是别的——微商、差商、流数等）才是积分的真正基础时，这已经至少是牛顿和莱布尼茨以后约一百年的事了。”（这里翻译的明显有逻辑问题啊）可见看到，由牛顿和莱布尼茨当时给出的微积分的定义，并不是严格的，甚至是非常迷惑人的。这本书借鉴了牛顿和莱布尼茨的解释，只能是自己也说不清楚了。那么微积分的基础应该怎么解释呢？来结合历史来说吧，这样对于读过这本书的童鞋应该也都有印象——究竟是哪里出错了。莱布尼茨试图从函数的差商出发来‘解释’导数，函数y=f(x)的差商是：deta(y)/deta(x)=(f(x1)-f(x))/(x1-x)它的极限我们称之为导数f’(x)(拉格朗日引进的符号)，而莱布尼茨的写法是：dy/dx，用‘微分符号’d代替了差的符号deta。莱布尼茨对此说了如下的话：deta(x)没有达到零，deta(x)的‘最终值’不是零而是一个‘无穷小量’，即被称为‘微分’的dx；并且类似地deta(y)也有‘最终’无穷小值dy。然而这两个无穷小微分的真正的商又是一个普通的数，f’(x)=dy/dx。莱布尼茨相应地称导数为“微商”。这样的无穷小量被看作是新型的数，它不是零，然而小于实数系中的任意正数。只有那些具有真正懂数学才能的人，才能把握这个概念。而微积分所以被认为非常难懂，正是由于不是人人都能具有这种数学才能或被训练成有这种数学才能。同样的积分被看成无穷多个“无穷小量”f(x)dx的和。这个和，人们仿佛觉得就是积分或面积。而它的数值计算，即有限个普通的数f(xj)deta(x)的和的极限，多少像是附加上去的（有限个普通数的和的极限是现代对积分的定义）。前面说莱布尼茨的解释是非常模糊和混乱的，为什么呢？在莱布尼茨引入符号d时，只要我们把这符号理解为只是指deta(x)->0 导致deta(y)->0的极限过程，那么就不存在什么困难，也没有什么玄妙了。在取极限以前，商deta(y)/deta(x)的分母deta(x)已被消去或已变成使极限过程能顺利完成的形式。这一点，是微分的实际过程中的关键所在（！！！！！！！！！）。这一点，是微分的实际过程中的关键所在（！！！！！！！！！）。而我们今天把积分定义为有限和的极限。通过这样的途径，我们就克服了困难，并使得微积分建立在坚实的基础上。积分也建立在了极限的基础之上（！！！！！！！！！）。积分也建立在了极限的基础之上（！！！！！！！！！）。微积分的最终建立在极限的基础之上。而微积分中重要定理的证明，也都是利用极限的思想。这才是应该在微积分之前应该明确表述的。刘书中对微积分的基础解释，实在是混乱不堪。而且引入了微商的概念，就更加让人不明白了。就先后顺序上来说，柯朗认为微积分中，积分才是微积分的第一个概念。现在想来，无论是从基础理论解释，还是在直观理解中，积分都比微分更加容易接受和弄懂。微积分乃是分析的基础。在数学体系中，属于古典分析。而后来的实分析、复分析、泛函分析等，也还是需要古典分析的基础的。虽然在高等数学中，仍然会讲到由实数理论和测度论建立起来的微积分，但是在初学者这一层面，从极限的基础理解微积分是十分重要的。本书最多用来做题和翻公式，别无大用，甚至是误导思维。PS 如果建议的话我会给出两个Principles of Mathematical Analysis和数学分析（第一卷）（[俄]B.A.卓里奇），这两本对于研究数学，包括数学专业和物理专业的人都是可以的，当然，对于别的专业来说，可能略显抽象。 PPS：理论解释多引自柯朗的书《什么是数学》