《代数几何初步》书评

Strongart：论现代纯数学中的原创与综合

在李克正的那本有所启迪却又让人不甚满意的《代数几何初步》的开篇中，提到了代数几何是综合的学科，而不是原创的学科，这里的原创与综合在一定意义上就相当我所提到的头与尾（当然其方向的通常意义的，暂不涉及集合论这样的反向数学领域），但遗憾的是李的书中对此并没有做充分阐述，下面Strongart教授就来具体做一番分析。李克正的书对原创性的解释就是“可以建立在一组简洁的公理和定义上“，而对综合性的解释则是含糊的说“其研究方法非常多样，不同时代、不同学派的风格千差万别，教科书也有多种模式，甚至没有大体一致的基本内容”。其实，这些还是只是表面现象而言，要是说到根源的话，原创的学科就是既有自己的思想方法，又有自己的研究对象，而综合的学科则是借助原创学科的思想方法来研究自己的对象。打个比方的话，原创的学科有自己研发的核心技术，而综合性则是借助于现成的技术，最多只是在它的基础上做局部的改进。在现代的纯数学的各分支中，代数与分析是两大核心原创学科，几何与数论则是两个核心综合学科。一般而言，代数要更加华丽优雅，是数学中的贵族阶层。而分析则是更加的实用化，是数学中的大资本家，它们控制着整个纯数学发展的基本动力；同时几何主要研究的是连续对象，要比数论稍微原创一点，后者存在着大量孤立的难题，是综合学科中比较老迈偏狭的领域。综观现代数学的分支名称，一般都是以代数与分析开头的，只是其中的分析常常以更为具体的微分或者解析的名词出现，比如说代数几何、微分几何、代数数论、解析数论等等，由此可见代数与分析的原创地位。当然，这样的划分只是框架式的，我们来看一下几种有趣的特殊情况：1）几何分析的逆袭。近代数学中有个称为几何分析的领域，是几何方法与分析特别是微分方程的综合，这是因为几何是综合学科中比较原创的，分析是原创学科中比较综合的，微分方程又是分析中下属的综合领域，因此出现这样的逆袭状况也就不足为奇了。2）代数几何的核心地位。为什么代数几何会处在现代数学的核心地位呢？因为它是最原创的代数作用在最为综合的几何上，大部分的数学家的思想都是综合性的，但他们都希望能够看到更多原创性的东西，因此他们的兴趣点大都聚焦在代数几何上面了。3）拓扑学的跨界性。有些数学家可能会把拓扑划归到几何学的范畴内，但我宁可把它单独提出来。比起上述四大经典数学，拓扑学的诞生要晚很多，似乎不太容易被放到标准的框架里。事实上，拓扑学横跨了原创与综合的两大部分：作为基础的一般拓扑学（或点集拓扑学）属于典型原创学科，它本身就是分析的基础，同时也存在着拓扑代数这样的数学分支，甚至还一头扎进的反向研究的集合论的怀抱，但后来的发展就变成综合性的了，同样是存在着代数拓扑与微分拓扑这两个典型的综合学科。拓扑学的例子可以给我们这样的启发，一般数学学科只要度过了胚胎期，那么就会有一段属于原创的时间，后来却是常常走向综合的道路。这就好比小孩子都有一个学知识的过程，但大多数孩子长大后只是用它们而已，只有少数人才会成为专门整理探究知识的科学家。即便像代数这样的原创学科，其中也包含诸如有限单群分类这样的综合性研究，但只要其中一直存在着原创的动力，那么作为一个整体就算是原创的学科了。反过来我们看几何，在欧几里得的时代的几何学自然就是原创的，但现在那个意义的直观几何已经基本被淘汰了，主要还是借助代数与分析的方法进行研究，因此就变成综合性的学科。从中我们也可以看出，原创与综合的区分并不是固定不变的，而同样是随着历史不断的演变发展的，因此本文的标题中才特别加上“现代”两个字。一般而言，原创学科的发展主要在于新数学概念的发明与理论的整体推广，而综合学科则是更在乎具体问题的解决与具体数学对象的分类研究。显然，原创学科对于数学素养与创新能力的要求更高，目前国内数学家大都只知道研究综合学科，即便是对于代数与分析的研究，也常常停留内部应用的层面上，这不得不说是一件非常遗憾的事情。