《数字图像处理》章节试读

《数字图像处理》的笔记-第91页 - 3.5 空间滤波基础

二维线性滤波是二维计算机视觉的重要工具。线性滤波通过将一个过滤器模板与图像做卷积在空间上实现的。先从一维卷积开始：($$\LARGE Y_{n}=\sum_{i=-\infty }^{\infty }x_{i}k_{n-i}$$)从几何上认识卷积：在进行信号处理之前，需要将模板（kernel）翻转180度。然后将模板逐步向右移，并相合的位置做乘积并输出。中间的一步最后再来看二维卷积。假设如下模板K和图像I：依据公式将模板绕中心（其它情况下不一定是中间的那个）旋转180度，图像外围填充零。模板每一次移动一个像素，计算在模板中的像素点与模板的乘积的和并输出，直至遍历完整个图像。这里采用一行一行地遍历。第一步最后输出的结果可以取整个，也可以取原始图像大小（实线区域），还可以只取仅由图像像素参与的卷积输出（虚线区域）。在实际中，根据不同应用设置不同的模板达到不同的效果。比如
1.模糊图像；低通滤波，突出近景大特征，估计星云概率分布
2.锐化。
可以看到卷积需要四重循环（图像行列两重，模板行列两重），这在计算量上相当大的。但当模板能够被分解时，就可以有效地降低计算量($$\LARGE I\ast K=I\ast \left(k_{1}\ast k_{2}^{T}\right)=\left ( I\ast k_{1} \right )\ast k_{2}^{T}$$)这里的星号表示卷积运算。如果模板的大小为m*n，那么未分解之前，每个像素需要进行m*n次运算，分解之后，每个像素仅需m+n次运算。

《数字图像处理》的笔记-第166页 - 二维傅里叶变换性质

某些有用的FT对中的高斯，即($$\LARGE A2\pi \sigma ^{2}e^{-2\pi^{2}\alpha^{2}\left ( x^{2}+y^{2} \right )}\Rightarrow Ae^{\left ( u^{2}+v^{2} \right )/2\sigma ^{2}}$$)由傅里叶公式($$\LARGE F\left ( u,v \right )=\int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty }f\left ( x,y \right )e^{-j2\pi\left ( ux+vy \right )}dxdy$$)和正态分布的公式($$\LARGE \int_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{ x^{2}}{2}}dx=1$$)从左至右地验证，代入函数得($$\LARGE \begin{align*}
F\left ( u,v \right ) &= \int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty }A2\pi \sigma ^{2}e^{-2\pi^{2}\alpha^{2}\left ( x^{2}+y^{2} \right )}e^{-j2\pi\left ( ux+vy \right )}dxdy\\
&= A2\pi \sigma ^{2} \int_{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi^{2}\alpha^{2}x^{2}-j2\pi ux}dx\int_{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi^{2}\alpha^{2}y^{2}-j2\pi vy}dy
\end{align*}$$)可以看出对x的积分和对y的积分相似，首先看对x的积分($$\LARGE \begin{align*}
\int_{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi^{2}\alpha^{2}x^{2}-j2\pi ux}dx &= \int_{-\infty }^{\infty }e^{-\frac{1}{2}\left ( 2\pi\sigma x+\frac{ju}{\sigma} \right )^{2}-\frac{u^{2}}{2\sigma ^{2}}}dx\\
&=e^{-\frac{u^{2}}{2\sigma ^{2}}}\int_{-\infty }^{\infty }e^{-\frac{1}{2}\left ( 2\pi\sigma x+\frac{ju}{\sigma} \right )^{2}}dx\\
&=\frac{1}{2\pi \sigma} e^{-\frac{u^{2}}{2\sigma ^{2}}}\int_{-\infty }^{\infty }e^{-\frac{1}{2}\left ( 2\pi\sigma x+\frac{ju}{\sigma} \right )^{2}}d\left (2\pi\sigma x+\frac{ju}{\sigma} \right )\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma}e^{-\frac{u^{2}}{2\sigma ^{2}}}\int_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left ( 2\pi\sigma x+\frac{ju}{\sigma} \right )^{2}}d\left (2\pi\sigma x+\frac{ju}{\sigma} \right )\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma}e^{-\frac{u^{2}}{2\sigma ^{2}}}
\end{align*}$$)对y的积分也类似，代入原式可得($$\LARGE F\left ( u,v \right ) = A2\pi \sigma ^{2} \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma}e^{-\frac{u^{2}}{2\sigma ^{2}}} \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma}e^{-\frac{v^{2}}{2\sigma ^{2}}}= Ae^{\left ( u^{2}+v^{2} \right )/2\sigma ^{2}}
$$)得证