古典数学难题与伽罗瓦理论

作者简介

《古典数学难题与伽罗瓦理论》应用伽罗瓦理论清晰透彻地论述了两个古典难题的解决方法，即寻找代数方程的求根公式和限用圆规直尺作图（如三等分任意角、把立方体体积加倍、化圆为正方形以及作正多边形等），并借此由浅人深地向读者介绍了一些抽象代数的基本知识和研究方法。

书籍目录

第一章历史概况∥1 1 高次代数方程的求根公式 2圆规直尺作图∥6 第二章群的基本知识 1集合与映射∥11 2群的定义 3变换群与置换群∥l7 4子群与拉格朗日定理∥22 5循环群∥24 6正规子群与商群∥28 7同态与同构∥32 8可解群∥34 第三章伽罗瓦扩域与伽罗瓦群 ∥41 1域上的多项式∥41 2域上的线性空间∥48 3有限扩域与单代数扩域∥52 4伽罗瓦扩域∥58 5伽罗瓦群∥64 6基本定理∥70 第四章这些难题是怎样解决的 ∥78 1代数方程根号求解∥78 2圆规直尺作图∥85 编辑手记

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《古典数学难题与伽罗瓦理论》可作为理工科学生和其他数学爱好者学习抽象代数的普及读物，也可供大中学校数学教师阅读参考。

章节摘录

版权页：   插图：   2 群的定义 群的概念属于代数学的范畴，它是伽罗瓦在19世纪30年代提出的，但是，迟至下半世纪才真正被人们所理解和接受。至今一百多年来，它在数学的各个分支和物理学、力学、化学、生物学、计算机科学等方面都有越来越广泛的应用，同时，实际应用的需要又促使群论本身不断得到丰富、深刻和提高，可以预见，以群论为基础的抽象代数学必将与拓扑学一起成为各个数学学科的基础知识和基本工具，这无非有两个方面的原因，其一，群论作为一种工具，能在较高的观点上，把一些形式上很不相同的代数系统，撇开其个性，抽出其共性，用统一的方法描述、研究和推理，从而得到一些反映事物本质的结论，再把它们应用到那些代数系统中去，高度的抽象产生了广泛的应用，其二，可以根据需要构造出一种新的群，再利用群的性质，使一些疑难问题迎刃而解，因为群的结构往往体现着事物的本质，伽罗瓦就是运用置换群理论解决了高次代数方程根号求解等疑难问题的。 群虽然是一个抽象概念，但却有着无数的实际背景，不知你是否意识到，在数学中，在其他学科中，甚至在日常生活中，到处都有群，例如，任意两个整数相加仍是整数，整数的相反数仍是整数，0是整数，我们就说，整数全体Z是一个加法群，再考虑非零有理数全体Q*，两个非零有理数相乘是非零有理数，任意一个非零有理数的倒数必是非零有理数，1是非零有理数，我们说Q*是一个乘法群，以后我们将要说明，钟面上的12个钟点数、每年中的12个月、每星期中的7天、每小时中的60分钟等都是加法群。另外，空间中的刚体运动、晶体的结构、化学分子的结构、生物的形态等也都可用群论方法来研究。总之，群是某个集合，其中定义了某个运算，另外还满足某些条件。群的确切定义是 定义2.1 设G是某个非空集合。在G中定义着某个运算“•”。

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