极限论与微分学新探

作者简介

这是一本探索性的书．笔者试图将实数、极限和微分学这些数学分析的基础理论用现代分析的观点来处理．《极限论与微分学新探》既要将上述理论的基本内容全部覆盖，又要将原内容赋予一系列的发展和创新．

这是一本“雅俗共赏”的书，《极限论与微分学新探》通俗，是因为阅读《极限论与微分学新探》的预备知识仅仅需要初等数学知识（中学内容）；而《极限论与微分学新探》“雅”，则是因为其观点新、技巧性强且创新内容多．这是一本培养创造性思维的书．《极限论与微分学新探》讲述由浅而深，从形象到抽象；并特别注意引导读者去“举一反三”，从各种“（正）例”“反例”以及“注”的学习中学会联想，并发现且引导出新的结果．《极限论与微分学新探》既可以作为数学分析的教材，亦可作为高年级大学生、研究生和需用此相应知识的科教人员的参考书．

书籍目录

序

前言

第1章 实数的完备性

1．1 有理数集Q的性质

1．1．1 四则运算性质(代数结构)

1．1．2 全序性质(序结构)

1．1．3 拓扑结构

1．2 实数的定义

1．3 实数的其他公理化引入

1．4 数列极限初论

1．5 定义实数的各公理所对应的完备化定理间之等价性

1．6 任何抽象距离空间之完备性

1．7 极限点定理与有限覆盖定理

第2章 数列的极限

2．1 数列极限的存在

2．2 数列极限存在的某些传递性

2．3 Stolz(施笃兹)定理

2．4 □与□型极限

2．5 数列的上、下极限

第3章 数项级数

3．1 级数的敛散性及该性质的传递性

3．2 同号项级数的敛散性及其判别法

3．3 变号级数的收敛(条件收敛)与绝对收敛

3．4 绝对收敛级数与条件收敛级数的重排级数之特性

3．5 级数的乘法

3．6 累次级数与二重级数

3．7 无穷乘积

第4章 函数的连续性

4．1 集的映射与函数(泛函)

4．2 函数的极限及其存在性判别法(含：函数的上、下极限)

4．3 函数极限的基本性质及其存在性的传递

4．4 无穷小量(或无穷大量)之间的比较

4．5 函数在一点的连续性及相关性质

4．5．1 多项式函数的连续性一

4．5．2 三角函数和反三角函数的连续性

4．5．3 对数函数和指数函数的连续性

4．5．4 幂函数的连续性

4．6 距离空间中的泛函(函数)之极限性质(含：方向极限、累次极限与重极限)

4．7 距离空间的初等拓扑性质(含：上、下半连续泛函)

4．8 紧集上连续泛函(函数)的整体性质

4．9 连通集上连续函数的性质

4．10 有限维赋范空间中的线性泛函与凸泛函

第5章 一元函数的微分学

5．1 导数及其求法

5．2 高阶导数

5．3 函数的单调性、局部极值性、凸凹性及作图

5．4 微分中值公式与求不定型极限的L/Hospital法则

5．5 函数的微分

5．6 Taylor定理(公式)

第6章 多元函数的微分学

6．1 偏导数(含：方向导数)

6．2 多元函数的微分

6．3 空间Rn到Rm中映像(算子)的微分

6．4 隐函数(隐映像)定理及逆映像定理

6．5 Taylor公式及条件极值理论

6．6 几何上的几点应用(切线、切面及法向量)

索引

内容概要

定光桂，南开大学数学科学学院教授，博士生导师。1959～1961年，南开大学数学系学习，毕业后留校任教。1979年9月～1981年11月，赴瑞典皇家科学院数学所(Mittag-Leffler研究所)进修，并破格获得博士学位(导师为当时(届)国际数学会主席L，Carleson和著名的泛函分析专家P.Enflo)，成为新中国派往西方学者中第一个获数学博士的学者。1981年任副教授，1986年晋升为正教授，1989年被国务院学位委授予博士生导师。1991～1994年，赴美国Iowa大学任访问教授。(1987年7月～1988年12月，任南开大学教务长；1987年2月～1991年8月任南开大学数学系主任。)作者曾多次获教学、科研奖，1989年获首届国家级优秀教学成果奖，1991年获国家教委科技进步奖，1998年获天津市首届自然科学奖，2000年获天津市“九五”立功奖章，2001年获宝钢优秀教师奖，2002年作者所讲授的“泛函分析”获教育部创建名牌课优秀项目奖，作者撰写的著作《巴拿赫空间引论》被(中国台湾)“九章数学基金会”在其《让数学名著永恒》项目中首选为重版书目，并于1997年和1999年由“科学出版社”再版，自1987年以来一直承担国家自然科学基金及国家教委博士点基金项目，并担任项目负责人。

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