《混沌与分形浅谈》书评

读书笔记

1.什么是混沌洛伦兹吸引子：洛伦兹使用3个非线性方程，在三维相空间画出3变量系统的轨迹。2.虫口模型x(n+1)=Gamma*x(n)*(1-x(n)). 0<x<1. Gamma增大后，该次幂的函数与y=x的交点处斜率将>1，故不稳定。当增加映射次数后又出现的稳定点周期加倍。当Gamma=4，做变数变换x(n)=sin(pai*y(n)/2)^2=0.5*[1-cos(pai*y(n))]得帐篷映射。【疑】当Gamma>4时，Logistic的稳定点-Gamma值映射图会周期性变化吗？但由x(n)<1的定义，Gamma<4.3.符号动力学又对Logistic方程做变数变换，令y=(4x-2)/(Gamma-2)。得到Logistic的稳定点-Gamma值映射图中隐约出现的黑线。【疑】此映射初值与迭代后得到的值(-1,1)的范围如何求？使用符号最前端为R或L判断其大小，是否靠谱？因为RL, LR为同一轨道，划分为两个之后反而大小会有不同。4.奇怪吸引子设动力学系统由N个坐标描述为x1...xn，其动力学方程为dx/dt=F1(x1...xn), dx(dot)/dt=Fn(x1...xn)。汉诺将洛伦兹方程的alpha, beta参数不变，使zeta<220时出现奇怪分维吸引子，>220时则为正常吸引子。使用庞加莱截面技术简便研究。5.混沌的控制1990年，马里兰大学的E.Ott, G.Grebogi, J.A.Yorke提出一种控制混沌的方法。考虑时间连续的力学系统，引入变量p。6.奇妙的分形——分形维数的计算若一个集合占据了H个边长为ε的线段或面积或体积，则该集合的维数D0=lim(ε->0)logH(ε)/log(1/ε).【疑】贝克尔映射(Baker's map)为何在两个维度上计算？7.大自然的艺术——分形维数的测量【疑】部分例子新生部分不附属于原图，部分例子新生部分附属于原图。使用同一分形维描述，会否此描述丢失了一些重要的信息。树叶分形维数是否不考虑角度？8.形形色色的分形——分形的应用用电化学方法研究凝聚体生长。烧蚀问题，对烧蚀花样定量研究，提出压力脉动时间序列分维数的计算方法。烧蚀花样具分形特性因湍流边界层也呈分形结构；催化剂颗粒为分形体，对此用计算机程序模拟研究。9.布朗运动布朗粒子的运动轨迹可用廊之万(langevin)方程描述。布朗粒子受平均作用（一种阻尼力）、随机力（提供能量）、外场力（如重力场）。若其他系统受理类似，则也可作布朗运动处理，如原子核裂变问题。粒子随机行走(random walk)与布朗运动不同。由于有外力场存在，粒子的移动范围不再是一个平面，必须有一个山坡（具有马鞍形），象征原子核形变的布朗粒子必须爬过山坡才算发生裂变，比无规行走复杂。无规行走只是概率论中称为马尔可夫的数学问题，无物理内容，只是部分具体物理问题可与之联系起来而已。10.混沌与分形的展望一个系统要出现混沌状态，其运动方程是一定是非线性的。系统的混沌运动是本质，分形是表现形式。爱因斯坦：上帝难以捉摸，但是不怀好意。Raffiniert ist Herr Gott, aberboshaft ist Et nicht. 量子力学研究微观粒子运动而建立，经典力学是量子力学用于宏观物体的极限状况。宏观物体运动存在混沌现象，微观粒子的运动也应存在混沌现象。量子混沌的研究或许也期望对量子力学的几率性作出新的解释。分形理论新发展：物理中湍流与相变，化学中高分子链，催化剂表面，凝胶；天文学中星团分布，宇宙大尺度结构，医学中人体组织结构（如心血管、肺等），材料的损伤断裂，石油开采中的掘进等。