《千年难题》章节试读

《千年难题》的笔记-第29页 - 第一章 素数的音乐

最接近这个猜想的研究成果是由中国数学家陈景润于1966年做出的，他证明从某个数N开始，每一个比2大的偶数要么是两个素数之和，要么是一个素数和两个素数的乘积 之和。这句话中“比2大的”是多余的。

《千年难题》的笔记-第51页 - 第一章 素数的音乐 黎曼假设

第51页开始的第一章的“附录I 欧几里得对有无穷多个素数的证明”描述得不正确。遗漏了下面所说的情况2。
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欧几里得所说的是，已知任何有限的素数集合（即任何“指定的素数集合”），然而，我们总能找到一个不包括在这一素数集合之中的素数。简言之，任何有限的素数集合都不可能包括全部素数。 证明如下：
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欧几里得首先设一有限的素数集合，即A、B、C、……，D。他的目的是要找到一个不同于所有这些素数的素数。为此，第一步，他先设数字N一（A×B×C×……×D）＋1。N大于原素数集合中所有素数的乘积，显然也大于其中的任何素数。如同任何大于1的数字，N或是素数，或是合数，对这两种情况，需要分别加以讨论。
　　　　情况1 设N为素数。
　　　　因为N大于A、B、C、……，D，所以，N是原素数集合中不包
　　　　括的新素数，至此，证明完毕。
　
　　　　情况2 如果N是合数，情况又会如何呢？
　　
　　　　根据命题VII.31，N肯定有一个素数因子，我们设其为G。然后，欧几里得即断定（这是他推理的核心），G为原“指定的素数集合”之外的素数。为便于论证，设G=A，那么，G当然能够整除A×B×C×……×D的积，并且，（如我们在情况2中所设，）G同时也能够整除N。因此，G肯定还能整除这些数的差，即应该能整除
　　
　　　　N-（A×B×C×……×D）
　　　=（A×B×C×……×D）+1-（A×B×C×……×D）=1
　　
　　　　但是，这是不可能的，因为素数G最小也必须等于2，而且，根本没有能够整除1的数字。即使我们假设G=B，或G=C，等等，结果也都一样。因此，欧几里得宣称，素数G不包括在A、B、C、……，D之中。
　　
　　　　所以，不论N是否是素数，我们都能够找到一个新的素数。因此，任何有限的素数集合永远会被素数集合之外的又一个素数所补充。 证讫。
　　
　　　　对欧几里得证明的要点可以用两个具体的数字来说明。例如，假设我们原来“指定的素数集合”是{2，3，5}。那么，数字N=（2×3×5）+1=31，N为素数。31显然大于我们开始时所设的三个素数2、3和5，因此，31是不包括在原素数集合中的新素数。这就是我们上面所证明的第一种情况。
　　
　　　　另一方面，我们还可以设原素数集合为{3，5，7}，因而，N=（3×5×7）+1=106。106显然大于3、5或7，但它不是素数。然而，犹如第二种情况所证明的那样，106肯定有一个素数因子，在本例中， 106=2×53，而2和53都是不包括在集合｛ 3， 5， 7 ｝之中的新的素数。所以，即使N是合数，我们也能够证明有限的素数集合之外尚有其它素数存在。
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《千年难题》的笔记-第175页 - 第五章 关于光滑行为的数学

他们取一个球面的三维类似物(称为“三维球面”)作为基础，并估量任一三维流形与这三维球面(简称3－流形)的差异程度，以设法对所有的三维流形进行分类。这句话应改为：
他们取一个球面的三维类似物(称为“三维球面”)作为基础，并估量任一三维流形(简称3－流形)与这三维球面的差异程度，以设法对所有的三维流形进行分类。