《研究之美》书评

无

前面还好。感觉最后两张，没说明白。 1.牵涉到无穷的归纳法，看了几遍，还是没看懂作者在说什么。2.超实数的乘法，只是起了个头，剩下的完全没说好吗？可能是要让读者自己证明吧？ 所以感觉结尾仓促。难道是一周快结束了，急着要把书结尾？ 还有，吐槽一下翻译，physical desire好像应该翻译成肉体欲望或者身体欲望，而不是物质欲望。p48 讨厌那种类似文言文的翻译。不过基本也只看英文。。。 不是很有趣的书。完全没有什么收益颇丰的感觉。而且怎么可能有人扫两眼，就收益颇丰，这个书的意义根本就不在于其内容，而是遇到一个问题时，自己怎么着手解决，所以重要的是在遇到问题时，读者自己的思考。看的时候一直在想什么时候能看完。。。

读的时候，最好能在纸上演绎推理

草读了一遍，如果在读的时候，能在纸上演绎，推理，效果就更好了。最好根据已知条件自己推敲一切。这是一本关于，逻辑演绎，归类，类比，推理，猜想，反证的书。

非常好的一本书

非常值得卡的一本书，情节就不透露了..我觉得我这个评论应该不算很短了，非常精辟..对于IT人士尤其的难得的一本好书.非常值得卡的一本书，情节就不透露了..我觉得我这个评论应该不算很短了，非常精辟..对于IT人士尤其的难得的一本好书.非常值得卡的一本书，情节就不透露了..我觉得我这个评论应该不算很短了，非常精辟..对于IT人士尤其的难得的一本好书.

神喻一样的比划

看了一遍，不理解；神喻一样的比划比划，我一边看一边想，要是我是那个男的，困在荒岛上，旁边有一个大美女，每天主要干什么事呢？城市拥挤综合症犯了？争取能够再看一百遍。豆瓣能不能把评论的文字缩短一些啊；不要搞得写书评跟写论文一样的，又臭又长的才能通过。或者识别一下，有些人就是爱写简短的评论，那又怎么样？ 天不会塌的。

力荐，高老的一本好书啊

看过英文版的，这本书从另一个新的便于常人理解的角度研究了数系的产生和发展，摆脱了以往数学的繁琐和逻辑化，而改用平常的语言，通俗的对话体作为阐述方式，让数系、极限等系统的知识贯穿于全书。并且告诉我们一些无法用语言描述的道理，很值得一看。。。

慢品《研究之美》

第 10 章，两位主人公先证明了加法满足结合律。记得 Alice 写出了一个鬼画符一样的式子……呃，难道译者引用的是道教术语……原文里是 monstrous 呀。:-P 然后用了创造日之和向下递归的方式证明了这个定理。接下来要证明 T12，若 x .=. y 则 x + z .=. y + z。Alice 说她是因为担心这个相似在加法情况下有偏差的缘故。前面一路下来的讨论中的每个数都是用相似的数中的某一个来代表的，但是加法是直接拿 X.L 和 X.R 之类的内部元素来开刀的，因此有这个担心。毕竟诸如 X.L 和 X.R 之间存在多个数的情况下做加法是比较难以直接想明白为什么加了以后还是相似的。作为一个扩展，Alice 和 Bill 准备证明 T13：若 x <= y 则 x + z <= y + z。它包含了 T12 的涵义。但是，这个命题的证明看得我一头雾水（Knuth 教授太高深了:-），因为这个证明不是一个简单的创造日之和的向下递归，有很多不能直接用创造日向下递归的地方，我想了好几天，到昨天晚上才得到一个可能有道理的思路，但是还是不完全保证这个思路是正确的。要是有机会还得请教熟悉该命题的专家了。或者同样作为读者的你也可以想一想，给个解释。我这里只能是抛砖引玉了。T13 是如果 x <= y 那么 x + z <= y + z。等价于若 X.L < y and x < Y.R 则 X.L + z < y + z and Z.L + x < y + z and x + z < Y.R + z and x + z < y + Z.R。然后通过把 T13 应用于 x.L < y 的情况，得出 x.L + z < y + z，但是注意，这里 x.L + z .=. y + z 的情况需要把 T14 应用了以后加以排除。具体来说，先看 T14，它是 T13 的逆命题：若 x + z <= y + z，则 x <= y。x.L + z .=. y + z，也就是 y + z .=. x.L + z 应用 T14 后，得出 y <= x.L，与 x.L < y 矛盾，因此 x.L + z 不可能相似于 y + z，所以 x.L + z < y + z。接下来，我们想要对于 T13 和 T14 应用创造日递归下降的方法。先看 T13，它的右边是 X.L + z < y + z and Z.L + x < y + z and x + z < Y.R + z and x + z < y + Z.R，又可以进而分成对称的左右两半，我们可以重点关注左边一半，即 X.L + z < y + z and Z.L + x < y + z。前面已经说了从 x.L + z < y + z 所能得出的结论，这样，它已经比 x 要下降一层了。用这个式子去套 T14，如果 T14 能递归下降的话，整体就能成功地递归下降了。第二个分支则有点搞脑子了：Z.L + x < y + z。由 X.L < y 并不能推出这个，而且可以看出，左右的变量没有一个是相同的，因此用一次 T13 是无法成功的。如果拆成两个倒是可以。一种拆法是拆成 z.L < z => z.L + x < z + x，然后 x < y => z + x < y + z，从而 z.L + x < y + z。可惜，这样拆的话又要用到 x < y 这一层的 T13，等于循环论证，可见此法无效。另一种拆法是拆成 x < y => x + z.L < y + z.L，以及 z.L < z => z.L + y < z + y。将 x + z.L < y + z.L 变成 x.L + z.L < y + z.L and x + Z.L.L < y + z.L and x + z.L < Y.R + z.L and x + z.L < y + Z.L.R。第二个和第四个分支相对于 T13 右部展开的四个分支的第二第四分支相对 z 已经下降一层了，因此可以用来递归。第一个和第三个分支类似于前面的 x.L 和 y.R 的递归下降。接下来看第二部分：z.L < z => z.L + y < z + y，可以变成 Z.L.L + y < z + y and z.L + Y.L < z + y and z.L + y < Z.R + y and z.L + y < z + Y.R。它的四个分支的下降情况和前一部分类似，只是增加了“交叉下降”（如 y 到 Y.L 类似于 z 到 Z.L）。一个问题是第二分支的右半部 y + z 始终“不肯”下降，但如果 X.L < y => X.L + z < y + z 是有效的递归下降的话，那么这个也是有效的。但我还没有彻底想通为什么这个是有效的……接下来要看看 T14 这边。X.L + z < y + z and Z.L + x < y + z and x + z < Y.R + z and x + z < y + Z.R => X.L < y and x < Y.R。我们用下降一层的 X.L 和 Y.R 来支持：X.L + z < y + z and x + z < Y.R + z => X.L < y and x < Y.R（需要 T13 来消除相等的情形）。可见，第二和第四个条件分支不用成立，右边的结果也能成立，所要不需要再考虑它们了。之后，两位主人公开始证明 x - x .=. 0. 此时在我心里想起的是，到底哪些有关加法的定理是必须的，或者说，哪些定理足以把超实数映射为实数。我记得之前章节中“定义”了从超实数到实数的对应关系，这种定义是基于超实数加法与实数加法相似的假定下的。第一组有关加法的定理 T13 和 T14 表达出：对于任意正数 z，x + z > x；x < y <=> x + z < y + z（x 和 y 的顺序关系在加了 z 之后不变）。有了 T15 外加一些之前的定理（不需要 T13 和 T14），得到：x + (y - x) + z = x - x + y + z = y + z，但这仍不表示“y 和 x 的间距 y - x 仍被 x + z 和 y + z 保持”，因为 y - x 这个概念还不一定对应到实数中的相关概念。仔细思考之后，我发现了一些能用于把超实数加法与实数加法相对应的线索。如果我们把两个正数相加，a/b 和 c/d，b 和 d 是 2 的幂。结果可能是一个大于 1 的数或是小于等于 1 的数。因为一个大于 1 的数的定义是把前一天的比它小 1 的数加 1 得到的，因此这个值是定义出来的而不是计算出来的。我们可以把 a/b 和 c/d 减 1 直到它们的和小于等于 2。加法操作——([X.L + y] union [Y.L + x] | [X.R + y] union [Y.R + x])——可以用左集中最大数和右集中最小数来代表。若 b 和 d 不相等，其中之大者作为除数，假设是 b，加法结果中的左右集代表数的差的一半会等于 1/b。“创造源数”——还记得这个概念吧？比如第 2 日的数 0 和 1 会创造 1/2，把 0 和 1 就称为 1/2 的创造源数吧。就算有其他的形式，如 ([1/4]|[3/4]) 也表示 1/2，但是创造源数还是唯一的。被创造数的值也是由定义而不是计算得出的。假定 b > d（过后再考虑 b = d），那么和的左集最大数 NL 和右集最大数 NR 的差值的一半就是 1/b。1/b 是与 a/b 同一天创造的正数中的最小者。相对应的实数和可能 < 1 或 > 1。在 < 1 的情形下，略微的思索发现，和的创造源数就是 NL 和 NR，其值是定义出来的，与实数相对应。在 > 1 的情形下，和是通过 a/b 同一创造日的另一个小于 1 的数通过加 1 定义出来的，它的创造源数也是能与实数相对应的，因此没有问题。再考虑 b = d 的情形。NL 与 NR 之差值的一半将是 1/b，但是 NL 和 NR 之间最早被创造的数将是一个 2/b 的倍数。无论小于 1，等于 1 还是大于 1，根据 T7，加法的结果总是相似于 NL 和 NR 之间最早创造的那个数。那个数相对应的实数值也是定义出来的。让我们回到书本。在第十一章，男女主人公确定了一生之缘，这种奇妙的安排，正是如同数学那样，经常在出其不意的地方给人们以惊喜。第十二章，主人公们探讨了一些特别的情形，这些情形在康威的约定之外。康威的规则并没有覆盖到这些情况，而是由主人公们自己进行了探索。首先映入眼帘的是圈加。圈加的定义是两个源数，一个目标数，目标数的左集是源数 a 左集之每一数与源数 b 左集之每一数之圈加结果。经过主人公的试验与探索，圈加的结果显得很特别。第一个发现的现象是圈加任意两个正整数的结果是两个正整数中较小的一个。1/2 与 -1/2 的圈加结果是 ([0]|[0])，不符合规则 1，所以圈加不是一个合法的运算。接下来讨论的一个问题是伪数。一个伪数是不符合规则 1 的数。书中也说到了规则 2，然后我想起一件趣事：当初高博翻译本书时，曾给我看过，我也稍微看了一点。这本书和别的书不同，它的内容不是那么容易懂，而且如果跳过前面一部分的话，后面的就会看不太懂。所以我那时陆陆续续看了一点，才看到大约 Alice 讲相似性规律的前面一部分。一开始我也没注意，有一次参观高博的办公室，他打印了五十页出来，然后我看了以后，突然发现他的康威之石的第一段文字里面，好像是“甲数大于或等于乙数，当且仅当甲数的左集中无一大于或等于乙数”，这前一个大于或等于不对嘛。因为后面的内容与此相悖的关系，我才作出这个推断。后来他很慷慨地改掉了。这段经历让我十分珍惜阅读此书的机会，毕竟这么精工细作的书非常难得。他不仅仅在翻译方面十分精细到位，而且在排版方面，出版之前用 TeX 重新排版，还把中英文的句子按页仔细编排，使得中英对照起来十分方便。伪数可以按照规则 2 来进行比较。虽说伪数之间的大小关系比较复杂，未必符合传递律和自反律，但这还是可以判断的。比如说，要比较 ([1]|[0]) 大于等于 2 是否成立，可以展开：2.L < ([1]|[0]) and 2 < [0], ... and not (2 >= 0), ... and false, 即结果为假。Alice 开始研究起伪数关于之前证明过的定理的性质了。首先看 T1，就是小于等于的传递性。这个定理当初的证明没有用到规则 1，因此也是适用于伪数的。先撇开一下话题，当初证明了传递性和非异次元性后，基本上建立了超实数的大小关系模型，即任意两个数 a 和 b 之间要么 a 小于等于 b，要么 b 小于等于 a，而且如果两者都成立，那么传递性将保证所有相似数的唯一集合，同时传递性和非异次元性一起应用能保证大于且不等于关系的传递，使得顺序看起来和实数类似。然后回来：规则 1 在证明“非异次元性”的过程中是用到过的，所以伪数出现了如下的奇特现象：([1]|[0]) 既不小于等于也不大于等于 0。书中还列举了其他的奇特现象，煞是有趣。后 Bill 一不小心误认为 ([1]|[0]) 不小于等于它自身，这是因为之前看到它与 0 和 1 之间的数没有任何关系，所有比 0 小的数都小于等于它，所有比 1 大的数都大于等于它，所以误认为它与它自身也没有关系，但事实上容易验证，它是相似于它自身的。后来 Alice 疑惑 T3 对于伪数是否成立，Bill 提醒说看看之前的证明对伪数是否成立，然后 Alice 马上说它成立，对此我开头有疑问，后来仔细看了以后发现它的证明的确没有用到规则 1，只是用了个递归。第十二章真是拓展视野的一章，讲了那么多东西都还没有讲完，我在安卓手机上用百度输入法打五笔都打得累了:P接着，女主人公对着所有有关加法的定理大声宣布，所有这些定理的证明对于伪数全部成立，这个欣喜若狂的庆祝，被男主人公的一桶冷水给浇没了：倒还是 Alice 先冷静下来，检查了 T13 的证明。她怀疑的是 T13 展开式的第二个分支，即 Z.L + x < y + z，对于创造日之和的应用。但是我觉得如果我的推断没有错的话，应该是与第一个分支相似的，问题还是在那个右半部的 y + z 不知道怎么下降法。

进一步研究《研究之美》

自 25 页始，讨论向更高的层次进发。其结论的通用性越发上升。第 25 页“如果成立的话，那我就会将 (Y, phi) （此处 phi 表示空集）称为“正”数”，之后又发现此中 Y 必须满足其中至少一个元素大于或相似于 0，只要满足了这个条件，它就成被称为“正”数。在第 31 页，主人公 Bill 发现了 19 个（后经 Alice 指出是 20 个）基于 -1, 0, 1 产生的超实数。然后，当他们想继续产生后面的超实数时，遇到了一个问题，就是将会产生出很多的（可能超过 400 个）的超实数。由于这样产生的超实数太多了，他们开始寻找简化的途径。首先 Alice 发现了 X(L) 和 X(R) 在小于或相似于（<=）这个运算符下面的意义，可以用 X(L) 中的最“大”的那个数和 X(R) 中最“小”的那个数来代表。这个什么意思呢，比如对两个超实数 x 和 y，要判断 x <= y 是否成立，从书中 Conway 法则 2（即称为规则 (2)，见书中第 7 页）出发，等价于 (not any X(L) >= y) and (not any Y(R) <= x)。通过上述讨论的简化法则，我们只要判断 (not max(X(L)) >= y) and (not min(Y(R)) <= x) 即可。比如，要判断 0 <= 1，and 的左边是真因为 X(L) 是空集，而右边也是真因为 Y(R) 是空集。反之要判断 1 <= 0，and 的左边是假因为 max(X(L)) 就是 0，0 >= 0 成立，这样右边虽然是真，但是整个表达式仍是假。通过这种简化，前面发现了的 20 个超实数，可以被简化为 10 个“代表”。接下来，第 33 页到第 37 页，主人公开始怀疑起了此小于并相似于的概念与一般数字的小于等于的概念之间是否并不如想象的那样。而此关系最容易想象的一种情形就是传递性。对于通常实数集的小于等于运算，它有自反性和传递性（对称性也成立，即 x <= y <=> y >= x；它已隐含在 Conway 的定义之中）。自反性是指 x <= x 成立。传递性是指命题“若 x <= y，y <= z，则 x <= z”成立。现在我们要证明的是传递性的成立。Bill 认为如果直接证明，感觉会比较困难，不如用反证法的思路，即通过假设结论不成立，看看是否会导出矛盾。于是假设 x <= y，y <= z，并且 x > z（此处我用大于号表示小于或相似于的相反情况）。需要让第三个式子成立，就必须有 X(L) 集中的某个 x(L) >= z，或者 Z(R) 集中的某个 z(R) <= x。然后，这样一来，又得到新的三个坏数组合（两种情况取其中至少一种）：y <= z，z <= x(L)，但是 y > x(L)，或者 z(R) <= x，x <= y，但是 z(R) > y。而且有趣的是，这两种情况又可以递归应用，把两种情况中的三个数算作前面的 x y z 再次应用。这样一来，反倒解决了问题：由于可以无限递归下去，每次递归又将其中一个数的左集或右集中的数提取出来，而 x y z 三个数都只有有限的复杂度，因此递归到一定程度后，提取出的数的复杂度将降到左集和右集都是空集的程度，也就是 0。再向下递归，只可能将非 0 的两个数继续递归，直到那两个数也依次变 0 为止。而 0 <= 0, 0 <= 0 且 0 <= 0 是肯定成立的，因此与原先的假设矛盾。于是原命题得证。书中第 37 页更明确地指出，抽出的数的创造日——可以表示为第 n 日——一定比它组成的那个数的创造日要靠前，从而递归下去也会得到期待的结论。第五章，第 41 页。首先两人开始讨论是否有这样的两个数，它们互相“视而不见”，仿佛是在异次元空间似的。说到异次元空间，不知您的体会是什么，反正对我来说，直接就想到了脍炙人口的《圣斗士星矢》。记得有好几次有圣斗士进入了异次元空间。我因为好奇，忍不住看了下英文原文，原来原文只是简单的 in another dimension or something，顿时觉得译者的这个翻译或许真的是从圣斗士里面得到的启发，实在太有意思了。现代社会上流行的宅男宅女，这种分类太抽象，具体地来说，我以前大学里吧，周末经常宅在家里，经常玩电脑，但是却很少上网，一周上个一两次吧。这样一来，可能就跟其他宅的人身处不同的空间了。记得有同事说，我们上网上得太多要戒网，Robbie（我的网名兼英文名）不是要戒网，是要戒电脑。记得大学毕业以后去文广工作，有十天军训每个应届毕业生必须参加。然后在这十天里面没电脑玩，每天难受得紧……到最后一天回到家，感觉终于熬到头了！好吧，扯远了。前面说到 y !<= x 并且 x !<= y。之所以用 !<= 而不是 > 是为了突出我们要寻找的特性——无关性。如果 x !<= y，则至少有一个 x.L >= y（还记得女主人上次得出过的结论吗？）。然后，Knuth 教授笔峰一转，妙笔生花，找一个充分非必要条件来加速证明：一个想象已久的命题：x.L <= x（并且 x <= x.R）。如果这个成立，那么根据之前已经推出的传递律，就有 y <= x，之前的 y !<= x 就不成立，异次元的假说也就被推翻了，Conway 的理论由主人公看起来就更接近完美了。这里还是用反证法，假设 x.L !<= x，那么以下两者必居其一：1. 某个 x.L.L >= x；2. x.L >= 某个 x.R。（Conway 规则 2）。但是，条件 2 与 Conway 的规则 1 相矛盾。于是只有条件 1 可以继续进行下去。然后，主人公觉得既然猜想 x.L <= x 成立，但是现在要证伪的是 x.L !<= x，为什么不留一些余地，假设 x.L.L <= x.L 呢？但是，光是假设是不行的，需要实际找到这种情况才能继续进行这个证伪。那么实际是否能找到呢？书中 Alice 说了一句话：“由于 x.L 比 x 先创造出来，我们至少可以假设 x.L.L <= x.L，运用归纳法”。这句话中的“运用归纳法”正是画龙点睛之笔！那天晚上我走在瑞金二路上边走边想，才终于想明白：归纳法，这里的方向是向“下”的，就是把第 n 日的数往第 k 日（k < n）推。这样一来，对于 x 来说，就算 x.L.L !<= x.L，那么可以把老的 x.L.L 看作新的 x.L，把老的 x.L 看作新的 x，代入原来的 x.L !<= x 的式子，继续推，最后，要么到第 1 日，让 x.L 与 x 的假设关系与 0，1，-1 的情形相矛盾而被证伪，要么必然能找到 x.L.L <= x.L，从而在半路上中止。如果找到了 x.L.L <= x.L，Alice 还想继续往下推，Bill 马上将其阻止。之后，Alice 却意想不到地得到了另一个结果：由于 x.L.L >= x，以及 x.L.L <= x.L，那么 x <= x.L，于是就是不存在 x.L2 >= x.L（其中包含了 x.L2 就是 x.L 本身的情况；x.L2 是 X.L 中的任意元素），这样就是说，自反性对于 x.L 不成立，即 x.L !<= x.L。还记得吗？第 4 章 Alice 和 Bill 证明了传递性，但却没有证明过自反性哦！然后 x.L !<= x.L 表示存在 x.L.L >= x.L 或者存在 x.L.R <= x.L。如果 x.L.L >= x.L，前面说的是 x.L.L <= x.L，这两个并不矛盾啊——我那天在这个问题上绕了老半天，后来才发现原来答案就在眼前：前面刚讲过 x <= x.L 所推出的命题就是 x.L !<= x.L，Bill 误以为是又回到了 x <= x.L 的情形，但是 Alice 一针见血地指出：x.L <= x.L.L 已经比 x <= x.L 向下一层了，继续向下推一定能推到第 0 日并给出矛盾。所以 Bill 的一句“漂亮”给出了一个完满的结局。剩下的情况就是 x.L.R <= x.L 这个分支（因为用的连词是“或者”），而它与 x.L.L >= x.L 是对称的，因此也能导致矛盾。

本书到底说了什么

我看这里的留言，包括书评和笔记没一个人说明白这本书到底讲了个什么，到底什么思路，整体脉络到底是什么的问题，总在扯些没用的，所以我决定留言在这里。 这本书是这样，英文名应该叫 超现实的数，其实就是说一种数论吧，原文是这样写的 他们两个发现石碑后，觉得这应该是一种新数学，new math可是中文翻译叫 当代数学。。。。。虽然本书的理论确实是当代数论的内容但也不能直接这么翻译吧，背离了本书的写作初衷。然后两个人就决定把这套理论弄清楚。 它是基于数是一个集合，什么样的集合？？这这个集合一份为二，分为两个集合，左集XL和右集XR，这个数比XL中所有元素都大，比XR重所有元素都小，这就是数X的定义。你可能会问，数怎么能是集合呢？？这不符合逻辑啊，我倒要问你，连数都没有，哪来的逻辑？？所以你这里必须接受这个定义，然后才能看下去。你还可能问我，连数都没有，哪来的集合？？他其实就是先让有集合，这就是一种绝对假设而已。 然后通过以上的规定重新推导出所有的数，以及加法减法，乘法，以及大小关系，以及不等式的性质，以及各种代数性质，并且还推导出无理数啊，连续性啊等等性质，最后还推导了关于无穷大和无穷小的存在和相关性质。 这本书说白了，整个看点，在于一个思路，在于一个过程，而不在于这套理论本身，其中也包括一些大神的人生感悟啊等等，我觉得大神真的很可爱。 我之所以会看这本书，是因为我目标是看TAOCP，有种观点说这本书加上具体数学是看TAOCP的预科，我倒是没觉得这本书跟TAOCP有什么关系，哦，顺便说下，这本书其中提到了二进制的观点，似乎在传达二进制其实才是数的本质，而不仅仅是一种有力的形式，二进制更适合“造数”以及建造数的性质，其实从左右集合定义数的角度，其实本质上就是定义三个数，1,0，-1。 这次就算跟大神打个照面，接着该看具体数学了，希望自己能尽早攀登TAOCP这座高峰。

Winning Ways有汉译本了

Winning Ways的汉译本早在2003年就由上海教育出版社出版了，名为《稳操胜券》。在后记中译者翻译成了“取胜之道”，可见译者似乎并不知道这本书有汉译。给个链接：http://book.douban.com/subject/1082795/ （上册）http://book.douban.com/subject/1082797/ （下册）本书原意是介绍推广Conway的博弈理论，作者自己讲，读者群是倾向于数学专业本科生。出版社刻意淡化了这样的背景，取了一个非常通俗的书名，打造成科普、IT通吃，定价不低，借高德纳的名字赚上一笔。细说起来倒也切合书中的主旨，可以理解。若对本书过度膜拜，就未免言过其实了。说得有点短，那接下来简要介绍介绍《稳操胜券》的初步内容吧。考虑两个人的某种游戏，一人一步，最后总能决出个胜负来。我们考虑对局面进行打分。任意一种局面，左方走一步可以达到某一些局面，右方走一步可达到某一些局面，于是我们定义当前的局面分数为 {左方可达局面分数|右方可达局面分数}。那么最简单的一种情况，两方都没有可走的了，谁先走谁就输，定义为0，也就是{空集|空集}=0进一步可以定义，{0|空集}=1（左方还有一步可走），{1|空集}=2（左方还有两步可走），{2|1}=3/2，{3/2|0}=1等等等等NIM游戏是我们最为熟悉的喽：若干堆石子，轮流取，每次只能在一堆中取，谁先取完谁赢。那么没有石子的时候，局面就是0。那当有1个石子的时候，局面就是{0|0}了，也就是先走者赢，它不是0，但跟0很像，记作星号“*”，“*”可以跟数字做乘法，两个石头是*2，三个石头是*3。星号有神奇的加法，比如*3+*5=*6——也就意味着3、5、6的三堆石头，后手胜——云云。还有更复杂些的局面：{0|*}，左必胜，记作上箭头；{*|0}，右必胜，记作下箭头。等等进一步还有热度的概念，有些对应于围棋中的先后手之争，劫争什么的。（左方一手，右方若应对，则左方无利可图；右方若不应，则左方第二手后大优。）大概就是这样。对Surreal Number这本书的内容很感兴趣的同志，很想知道这个问题的实际背景来源，不妨去参考《稳操胜券》。该书内容详实，实例充分，图片多多。就出版社的出发点来讲，或许也是一项比《研究之美》的出版更严肃认真的工作。

很有意思的一本书

很有意思的一本书~推荐学数学和对数学有兴趣的童鞋们读读~书中关于数系、极限的论述通俗易懂又充满学术性，充分体现了逻辑的美感。而对于对数学不感兴趣的童鞋也可以从这本书领略到数系的神奇，会对数学改观也说不定呢~

trivial efforts, nontrivial results

当我们想当然地总是assume too much还自以为经验丰富、懂得多的时候，真正的数学家们总会本能地问上一句为什么会有这样的现象，这样的现象是否就是“事实”，是否能找到证明...然后就有了公理、然后就有了简约优美或繁琐复杂的重重证明、然后就有了引理、然后就有了定理...Knuth的著作读来总是令人心静，当然你也必须心静:) 本书提供了了解代数构造的一个绝好范例，没有从枯燥的公理集论开讲而直入主题，读来感觉一气呵成，而代数构造的方法自然而然地为读者所接受。

一本勉强去读都读不懂的“小说”

高德纳是个了不起的人，写了洋洋洒洒四卷《计算机程序设计艺术》，成为了这个领域里凤毛麟角的人物。在读大学的时候，就接触了《计算机程序设计艺术》，当时图书馆只有几本书，还是被借到了。但读起来很费劲，最终也没有全读完，浅尝辄止了。比尔盖茨曾高度评价过这套书，尽管这样，读下来的人还是很少。于是，当看到这本书也是高德纳写的一本“小说”，而且有人说这是开启《计算机程序设计艺术》的钥匙，是初级篇目，于是我就果断的买下一本，回来拜读。本来打算找一个心理安慰的，结果，这本书更加的晦涩。4000册的小众印刷本身也说明了一定的问题。书里讲了两个科学家对一个岩石上的文字进行研究，其实本身就在研究数学中数的关系逻辑问题。不断地推导、证明，最终得出了十九条结论和定理。书很薄，如果不是中英文加插图，简直比《阳明学述要》还要薄，但是比后者要更加难以理解。唉~~~坚持着看到最后跋的部分，才发现定位错了，这本就不是一本小说，而是为数学专业本科生写的《近世代数导论》和《数理逻辑》的补充读物……权作收藏吧。

分点儿时间给《研究之美》

起源，熵，螺旋形，大爆炸，宇宙，星系，太阳……数字，道生一，一生二、二生三，三生万物。科学的应该是简单的。《研究之美》通过故事体叙事描述了关于Conway数论的推衍过程。它出自大师之手，但它不是一部鸿篇巨著，是一本科普读物，但也丝丝入扣，字斟句酌。在千变万化的数理世界，也许令你感到繁芜复杂，但一切就又那么真实地来源于生活。你看，读上两遍这小册子，是不是不难理解？你好奇吗？读读《研究之美》吧，爱君何甚，待我细数。

名字并没有诠释内容

本以为是讲做研究的，但是是关于数学基础思维的书，比较适合数学系本科生阅读。这个评论长度也算不良评论么？这个评论长度也算不良评论么？这个评论长度也算不良评论么？这个评论长度也算不良评论么？这个评论长度也算不良评论么？

翻译的很差

对这本书的英文作者，我是从内心里佩服的。但是，1. 这本书翻译的真是不敢恭维。译者的中文文字水平不好。看着译文还不如看英文来着舒服。2. 这本书本是科普的文字，但译者刚开始就用上中文的文言文。这种做法明显违背原文作者的写作意图：普及大众。再者，译者的文言文也不好，译得不伦不类的。3.不建议购买。4.最后要说的是译者对原书的贡献。差的翻译会把原书毁掉的。如果大家看看阮一峰的翻译，如《软件随想录》《黑客与画家》，就可知道好的译者对原书推广贡献的重要性（我曾经对比过中英文，阮兄翻译水准极好）。

审美《研究之美》

哲学是人类文明初期最早而且是唯一的学科。在古希腊，哲学"Φιλοσοφία" (philo-sophia)一词是由“Philo”和“Sophia”组成，前者意为感情和爱，后者意为理性和智慧。在古希腊智者的心中，哲学是研究感性和理性平衡的学问。数学是哲学中最重要的一部分，是最早从哲学中独立出来的学科，但仍然和哲学紧密相连。随着人类文明的进展和数学的进一步细化，独立数学后的哲学才被划分成了天文、地理、建筑……一直划分到今天的如计算机科学、基因学、量子物理等新生科学科。但正如爱因斯坦所言，“哪怕任何学科都欺骗了我们人类的感知五官，数学都仍会是对我们最真诚、最永恒不变的学科”。任何学科研究到底，无非就是数学。读《研究之美》吧，正如冯诺伊曼所说的，“如果人们不相信数学是简单的，那肯定因为他们没有意识到生活有多么的复杂”。此书的风格就是用对话形式展现出数学的幽默诙谐，很容易引起读者的思考，并吸引读者一页页读下去。书乃中英文双语，供读者对照。每个字的意译都被反复斟酌研究过，实属上乘。热爱算法、英文翻译、数学，或哲学的朋友们都不要错过。

一本关于生活，爱情，学术和思维的好书

非常不错的一本书，如果你想学习怎么让爱情保鲜，如果你想学习如何在平淡的生活中保持激情，或者你只是对学术感兴趣，对创新思维感兴趣，对数学感兴趣，或者你只是想更多地了解高德纳，这本书都值得一看力荐-----大多数人可能更多从学术方面来看。其实我觉得这本书带给读者更重要的是，怎么样沟通来保持生活的激情，维持很好的亲密关系，这些对很多理工男女，IT男女，宅男女尤其有借鉴作用。我们每天都在讲 work/life balance，结果还是把自己搞得加班苦逼，还家庭不和谐。可是书中的男女主人公却能却能在保持生活情趣的同时获得很高学术成就。虽说我们和他们所处环境相去甚远，可是却有非常多可以借鉴的地方。不求看完之后就能顿悟其中的奥妙，只能慢慢来体会。-----专业学术方面的书籍，大多枯燥得让人没有看下去的欲望，数学系出来的我，深知这种解说艰深理论的难能可贵。而这种诙谐幽默的表达方式，能吸引我们一步步往下看。这种表达也是我们可以学习的，对于做理论的，做技术的来说更加重要。

上帝的作品

用2个地铁时间看了将近一半。就像高德纳大神所言，本书的目标并非真的要教给读者Conway教授的理论，而是想让读者学到，一个人要如何着实来研究这么一套理论来。采用两个人的对话体，用简短精辟的语言用集合论来描述数学，思路清晰巧妙，富有哲理，不愧为上帝的作品。译者翻译的也很棒！～强烈推荐。

对于做研究的人来说很值得一读

这是一本难得的好书，用最通俗的语言，向我们阐述了做研究的方法，使我们体会到做研究的乐趣。看似高深而且枯燥的研究，其实都是从最简单的情况入手的，做研究的过程可以给我们的内心带来无穷的乐趣。这本书告诉了我们研究其实就存在于我们每天工作和生活的方方面面，是一种对工作和生活的基本态度。

力荐好书

确实是好东西，很值得一看，个人认为出彩的部分是译者对作者意思的精准把握，确实是传神之作。第 25 页“如果成立的话，那我就会将 (Y, phi) （此处 phi 表示空集）称为“正”数”，之后又发现此中 Y 必须满足其中至少一个元素大于或相似于 0，只要满足了这个条件，它就成被称为“正”数。

初读《研究之美》

《研究之美》这本书，讲述了一对情侣一次偶然地遇到了一些记有各种不认识的符号的石头，并通过研究这些符号之间的关系，从而发现了一种新理论的故事。这种理论，从书的前言可以知道，称为 Conway 的超实数理论。此书是斯坦福大学的非常有名的高德纳教授所写。在大二时候，我所在的交大计算机系班级，有一门《数据结构与算法》课程，采用的教材是严蔚敏教授的《数据结构》教材。此本教材中提到好些基础算法，其中有一个非常有名的字符串搜索算法，叫 KMP，其中 K 即是 Knuth，即高德纳教授。当初这个算法是 Knuth 和 Pratt 一起发现的，而 Morris 则是单独发现的，但时间上差不多，所以称为是 KMP 算法。大三时候，有同学开始看起了高德纳教授的《计算机编程的艺术》，即著名的 TAOCP。这不是一本书，而是一个系列。我到现在都还没敢读，但是如果要说它的难度——请把《研究之美》里面的超实数完全看懂就知道了，因为这本书也有相当难度。引用一段网友的话：“TAOCP 很难读的。“我大四的时候很幸运，遇到一个牛逼的同学，常常相互讨论，才把第一卷囫囵吞枣的看掉大约一半的样子。剩下的一半是在美国慢慢啃完的。“第三卷我看了一些，非常难读，基本上等于没读过，第二卷粗看了几道题和简单的一些东西，结果 Google 面试就问到了一道。目前最有把握的是第四卷放出来的几小本，来美国之后，和我 officemate 一起讨论，花了大半年，做完了两小本后面的习题（一共就 200 道的样子）。但是放出来的几小本都是介绍性的，连算法的皮还没摸着呢。“虽然我一本都不缺，也不敢四处谈 TAoCP 呵呵 :) 只敢在写文章的时候提一下这本书的牛逼程度。”虽然《研究之美》也很难读，但是我看到高德纳教授为本书写的前言之后倒也会心一笑，特别是谈到了本书的译者——高博，与高德纳同姓一事，想来也是一种特别的缘份。读这本书的时候，手边最好有纸和笔，或者至少一台电脑，里面跑一个记事本或一个绘图软件，用来打打草稿。一上来，最容易搞混的就是那个“小于等于”的概念。这个和一般算术里面的小于等于的概念不完全一样，应用的范围也不一样。但是，一旦从第 25 页那里，把 (phi, X) 和 (Y, phi) 的概念推广了，那么就比 0、1、-1 带来的感觉更多些了。接下去的内容我还在读，等有体会了再上来与大家分享。

几点

1. 译名初一看略标题党了，但看完书后觉得也算是贴切2. 内容简介中有一句话：“本书可以看做是读懂<TAOCP>和<CMath>的钥匙" ——扯!3. 这本书实在不能算成是一本小说，而且也不是十分有趣，所幸很短，正当我约莫有点不耐烦时，第16章就结束了，很好。4. 翻译得挺好，几乎没怎么瞄左边的英文，不过也发现了几处明显的小错误（p89, p117, p157). 5. 想更多的了解一点点Surreal Number的话，建议看一下MIT的Open Course: SP.268 The Mathematics of Toys and Games. 好玩又不废劲.6. Alice三年之后就跟Bob在一起了啊..

推荐这本书哦亲

但是很值得一看。研究之美虽然是数学、逻辑相关的，但无论对知识、逻辑、人生，情感都是有一定境界的提升的，对我有很大的启发，看了之后对自己的人生，关于选择之类的会有很大的改变。我们想要什么样的人生？推荐给大家这本书，希望能有所启发！

细看《研究之美》

在第 5 章接近尾声的地方，两位主人公带着胜利的喜悦，一举推导出了好几个定理。前面所述的定理 T3（此处 T 表示定理 theorem，下同）就是自反性。T2 是 X.L <= x 且 x <= x.R，前面用自反性已证得。再进一步就得到 T4 即两个数不可能在异次元空间。T5 和 T6 是两条加强了的传递律——这两条可以从第 4 章的传递律 T1 和本章的 T4 共同得出。“Alice，今天我看到了你的另一面。你可真是打破“女性不宜搞数学”的神话了啊。”“怎么了嘛，谢谢你哟，我的骑士小嘴真甜！”这个翻译嘛，实在是让人砰然心动……好，继续，第 6 章。首先，由前一章的研究结果，我们可以把第 3 日的 20 个数里面的 7 个拿出来排列一下。它们分别是：([]|[-1]) < -1 < ([-1]|[0]) < 0 < ([0]|[1]) < 1 < ([1]|[])。注意 1、0 和 -1 只是简写，它们实际还是由两个集合构成的。剩下一些别的数，但是由 Alice 的推导（也包括之前的第 4 章里谈到的，X.L 中最大元素和 X.R 中的最小元素是具代表性的这段话，书中第 31 到 33 页），我们可以得到：([-1]|[]) ([]|[1]) ([-1]|[1]) 这三个具代表性的数。其中 ([-1]|[1]) 经讨论已与 0 相似。先回头看看 Alice 的推导是怎样进行的：她用到了 x，YL 和 YR 三者，它们之间满足一定的关系（详请见书）。然后得到的结论是 x 与 z 相似（T7）。再回头来看第 4 章，第 4 章那个只是讲了一小半，是说对于两个数 x 和 y，如果 max(y.L) 与 max(x.L) 相似，min(y.R) 与 min(x.R) 相似，那么这两个数相似。并且当时还没有得到证明。而第 6 章这里的结论则明显加强了：对于 x 和 YL、YR，如果 YL < x < YR，则 z = (YL union X.L | YR union X.R) 相似于 x。其中不要求 max(X.L) .=. max(YL) （此处 .=. 表示“相似于”，下同）。那么她是如何证明的呢？首先，要让 z <= x，则必须 1. YL union X.L 中没有一个大于等于 x；2. X.R 中没有一个小于等于 z。对于 1，YL 是可以保证的，X.L 可由 T3（自反性）得出：因为 x <= x，因此 X.L !>= x，即 X.L < x。对于 2，由于 z 的自反性，z <= z 成立，能得到 z.R = YR union X.R !<= z，从而 X.R !<= z。类似地，我们可以对称地证明 x <= z，从而得到 x .=. z。之后，为了把剩下的数放进去，两位主人公反复应用 T7，发现 ([-1]|[]) 和 ([]|[1]) 都相似于 0。这样一来，就前述 7 个数最具有代表性了。然后，他们猜想如果前 n 天的数是 x[1], x[2], ..., x[m - 1], x[m]，那么第 n + 1 天的数就是 ([]|[x[1］), ([x[1］|[x[2］), ..., ([x[m - 1］, [x[m］), ([x[m］|[])。我们先来看看前 3 天的对不对：第一天 1 个，第二天 2 个（1 + 1 = 2），前二天共 3 个，第三天 4 个（总共 7 个）。的确满足规律。那么如何证明呢？首先，由第 4 章 Alice 的结论，数的左集和右集都只要选其中的一个代表即可（左集选最大的，右集选最小的）。因此下一天的数只可能是 ([x[i］|[x[j］)、([]|[x[i］)、([x[i］|[]) 这三种形式之一，而且由于 Conway 的数的定义规则 1，以及前面的数的顺序关系，i < j 必须成立。因此，他们开始了证明。思路也是反证法。Bill 首先提出了一种特殊情况，就是 ([x[i-1］|[x[i+1］)。对于这个数，Alice 会怎么办呢？她发现这个很容易解决：把它和 x[i] 比较吧，由于 X[i].L !>= x[i-1]，且 X[i].R !<= x[i+1]，根据 T7，把它们加到 ([x[i-1］|[x[i+1］) 的左右两边去之后，与这个数是相似的，即 ([x[i-1］ union X[i].L|[x[i+1］ union X[i].R) .=. ([x[i-1］|[x[i+1］)。然后呢，另一方面，x[i-1] < x < x[i+1]。因此，把 x[i-1] 和 x[i+1] 加到 x 的两边之后的数根据 T7 也相似于 x，而这个数正是前面与 ([x[i-1］|[x[i+1］) 相似的那个数，根据传递性，它也相似于 x。Bill 再次提出了另一种可能性：([x[i-1］|[x[j+1］)，其中 j > i。这下 Alice 一时给问住了。此时，Bill 却有了想法：在 x[i], x[i+1], ..., x[j-1], x[j] 这些数里面，只要找到一个数 xea 它的左集小于等于 x[i-1] 或左集为空，右集大于等于 x[j+1] 或右集为空，即可根据 T7 推出 xea 相似于 ([x[i-1］|[x[j+1］)（提示：对任意一个数 x，X.L < x 且 x < X.R，这是由 Conway 规则 2 和 T3 推出来的，因此 x[i-1] < ([x[i-1］|[x[j+1］) 且 ([x[i-1］|[x[j+1］) < x[j+1]；然后把 xea.L 和 xea.R 分别附加到 ([x[i-1］|[x[j+1］) 之左右集，即可根据 T7 推导）。Bill 发现在 x[i] .. x[j] 之中必有一个数是在最早的日子里产生的，这个数的左集必小于 x[i] 且小于等于 x[i-1]，右集必大于 x[j] 且大于等于 x[j+1]，因此它就是相似于 ([x[i-1］|[x[j+1］) 的那个数，于是 ([x[i-1］|[x[j+1］) 也可以被代表掉了。接下来考虑边缘情况。说到边缘情况，做过编程的人晓得，有时候是比较搞的。对于不做编程的人来说，这是什么概念呢，就是好比你用资源管理器往 U 盘上拷文件，把一个文件夹的文件全都拷过去，U 盘空间不是很够，拷到某一个文件时，空间不够了，报了个错误消息之后就停止了。这时候你要去确认哪个文件是拷贝成功的最后一个文件，以及哪些文件没有被拷。编程里面的边缘情况也是类似，就是遍历一个数组或别的什么有范围的东西时，在边界上如何处理的问题。这里我们书中的边缘情况是这样的：([]|[x[j+1］) 和 ([x[i-1］|[])。Bill 觉得这也是小菜一碟，不就是 x[1] .. x[j] 之中最早被创造的数和 x[i] .. x[m] 之中最早被创造的数嘛。前者的左集是空集；后者的右集是空集。Alice 还担心如果在 x[i] .. x[j] 这样的数中有多个数是“最早创造的”。Bill 想了一想就明白了：这个情况是不可能发生的，因为这样的多个数互相之间将相似，而这与当初我们的假设相矛盾。这个理论能理解，但是乍想有些奇怪，为什么在相邻的一段数里面不可能有两个数是最早创造的呢？如果你有兴趣的话，看一下书中第 81 页的那些数字的诞生模式就明白为什么了——每两个同日诞生的数之间看上去总是存在一个更早日诞生的数，有点类似二叉树的结构。:-P当 Bill 正为此洋洋自得时，风中忽然传过来一句话：“胡说八道。想想无限集合再说。”——这风太神了，还能传话……这像是打雷一样，很快就下雨了，貌似已经进入了季风时节。猜想这个无限集合在后面的部分会有用，但是现在先放一下吧。进入了第 7 章后，两位主人公开始寻找 Conway 岩石的余下部分，以求得对 Conway 理论的更多理解。找到之后，两位开始感慨起大学时候的教育问题了。到底是因为当时太不投入了，才导致上课打瞌睡，还是因为老师的原因？如何才能培养出有创造力的学生？这段位于第 67 页到第 71 页的讨论，非常耐人寻味。第 8 章，两人开始根据岩石上的内容来研究加法。首先，Alice 解读出 Conway 的话的含义：两个数 x 和 y 相加，就是 ((x.L + y) union (y.L + x)|(x.R + y) union (y.R + x))。然后，Bill 着手计算他的第一个加法式子：1 + 1。这是在有了全部第三日数字的基础之上进行的。我们来看看第三日有哪些数字了：-a，-1，-b，0，b，1，a。其中 a 是 ([1]|[])，b 是 ([0]|[1])，等等。1 + 1 的计算，新的左集是 1 的左集中的每个元素加上 1，新的右集是 1 的右集中的每个元素加上 1。新的右集显然是空集。新的左集是什么呢？1 的左集是 [0]，那么新的左集就是 [1 + 0]。进一步计算 1 + 0，它的左集是 [0]，右集是空集，那么它就是 1。此前 Conway 岩石上也讲过，任何数加 0，其和还是原来这个数，果不虚言。于是 1 + 1 就是左集为 [1]，右集为空集的这个数。它就是 a。Bill 进一步假定，a 就是 2；Alice 笑称这是最长的 1 + 1 = 2 的证明。不过作为读者的我读到这里倒有个疑问，为什么能把 Conway 的加法和实数的加法相对应呢？万一这个加法有点什么特殊的性质怎么办？且看 Bill 和 Alice 之后的讨论，有没有任何不符合实数加法的现象出现。暂且认为到目前为止，Conway 加法和实数加法是一致的。Alice 算了个 1 + 2，得到 ([2]|[])，它是第四日的数，Bill 把它叫做 3。那么 b 是几呢？Bill 猜想它是 1/2。如果这种加法与实数加法真的相对应的话，那么自然地，b + b 将会等于 1。看看 b + b 到底等于多少：左集是 [b]，右集是 [b + 1]。那么 [b + 1] 又是多少？左集是 [1, b]，可以简化为 [1]，因为 b < 1 的缘故。右集是 [1 + 1]。也就是说 [b + 1] 就是 [([1]|[2])]。这个数一定大于 1 而小于 2，而 [b] 则是大于 0 而小于 1。在一个大于 0 而小于 1 和一个大于 1 而小于 2 的数之间的那个数是什么？根据前面的那个理论，应该是之间的创造日最早的数，就是 1。所以 b + b 就是 1，那么 b 应该就是 1/2。第 9 章，Bill 得到的第三天的所有数是：-2，-1，-1/2，0，1/2，1，2。其中 2 是正推的，1/2 是从 0、1 和 2 反推得到的。第四天的所有的非负数是：0，1/4，1/2，3/4，1，3/2，2，3。其中 3/2 可以从它自已加自己，位于 2 以上而得出；3/4 可以从它自己加自己，位于 1 与 2 之间而得出。第五天得到的所有非负数是：0，1/8，1/4，3/8，1/2，5/8，3/4，7/8，1，5/4，3/2，7/4，2，5/2，3，4。但是，Bill 发现这里面的某些数有点“异样”：7/4，它可以和它自己相加，然后是一个位于 3 和 4 之间的数，但是这个数在第五天还不存在。它实际上是 7/2，但需要提前“发现”。主人公们先是用形式化的语言证明了 T8，就是之前第 8 章已经讲过的一个特性的扩展。有了前面的基础，这个证明应该不难看懂。Alice 说第 5 日的数“一点不假”——但是是为什么呢？Bill 发现为了计算这些数，必须“预先发现”某些后面日子里才会出现的数，比如 7/4。但是 Bill 对这个模式很有信心。为了证明它，Alice 首先提出了一个设想：第四日所有的正数加了 1 以后的数在第五日里都存在，并且就是第五日最大的那些数。试试看加 1 会怎么样吧。x + 1 = ((X.L + 1) union [x]|X.R + 1)。首先可以说明这些数在新的一日都存在（我现在还不敢说“证明”，因为加法的特性都还没完全被证明出来）。我是这样想的：假设对第 i 日的 x，要想说明 x + 1 是第 i + 1 日的数。那么假设对第 i - 1 日的数 y，y + 1 是第 i 日的数成立，存在 y.L + 1 >= y，若 Y.R 不为空，存在 y + 1 >= y.R，而 x + 1 = ((X.L + 1) union [x]|X.R + 1)，进一步相似于 ([x.L + 1]|[x.R + 1])（因为 x.L + 1 >= x）或相似于 ([x.L + 1]|[])，那么由于 x.L + 1 和 x.R + 1 都是第 i 日的数，它肯定是第 i + 1 日的数。但是反方向上如果要说明第 i + 1 日里大于 1 的数都是第 i 日里的正数加 1 而得，也就是不存在某个大于 1 的数 x，它不是前一天的正数加 1 的结果。这个我想了好一会儿：从规律看，第 2 日所有正数有 1 个，大于 1 的数有 0 个，第 3 日所有正数 3 个（等于 2 ^ (n - 1) - 1），大于 1 的数 1 个，第 4 日所有正数 7 个，大于 1 的数 3 个（等于 2 ^ (n - 2) - 1），而且第 n + 1 天的大于 1 的数的个数等于第 n 天的正数个数，其余的正数个数是 2 ^ (n - 2)，而这个可以通过前面第 6 章讲的每日的不同的数的个数得到：第 n 日有 2 ^ n - 1 个数，包括正数、负数和 0，那么正数必然是 2 ^ (n - 1) - 1 个。这样一来，结论就得到了说明。回到书上第 91 页，对于小于 1 的数怎么办？很简单，把它们做个自相加，结果必然小于 2，比如 ([x.L]|[x.R]) 这样的数，其中 x.L 和 x.R 是前一天相邻的数，这两者之间的距离也是有规律的，对于第 3 天的小于 1 的 x，这距离是 1，第 4 天是 1/2，而 1 和 2 之间的数，其之间的间距也是有规律的，由于都是前一天 0 和 1 之间的数加 1 而得，因此是前一天 0 到 1 之间的数的间距。因此不难想到，对于 x + x，假设前一天的 0 到 1 之间的间距是 y，x + x 的范围就被限制在 x.L + x.L 和 x.R + x.R 之间了，而这两者之间的间距是 2y，而 1 到 2 之间的数的间距是 y，x.L + x.L 和 x.R + x.R 之间（不含两端）创造日最早的数就是那个位于两者正中间的数，因此小于 1 的数也很容易地能被确定了。Bill 接下来证明了 x + 0 .=. x。这个证明比较简单易懂。但是 Alice 的吹毛求疵精神也让我们看到了 Knuth 教授笔下的人物形象生动有趣，活泼可爱。接下来还有一长段路要走，让我们慢慢品味。

推荐一个参考文档

推荐一份论文，对理解本书可能会有些帮助An Introduction to Surreal Number http://www.whitman.edu/mathematics/SeniorProjectArchive/2012/Grimm.pdf这份论文将 Surreal Number 书中 Alice 和 Bill 的结论用形式化的语言来描述和证明。形式化的证明虽然看起来不像小说一样有趣，但遇到小说中某些章节的证明难以理解时，看形式化的证明会发现问题会变的清楚很多，可能是因为形式化的证明更加连贯，而且之前已经有了小说中对证明思路的引导。两个明显的例子是对 Conway 两条规则的描述，还有传递性的证明。这份论文中 surreal number 使用的记号跟 wikipedia 中使用的记号相同，我觉得比书中的更清楚。可能在 Knuth 74 年把 surreal number 介绍给大家之后它的记法已经有了进化。