《数理逻辑》章节试读

《数理逻辑》的笔记-全书 - 全书

一阶逻辑语言的外延性：句子不描述个体具有什么性质或关系，而是描述个体或个体序列属于什么集合
表述性质（如一元谓词）和关系（如多元谓词）的概念有内涵（如谓词表示的性质和关系）和外延（如谓词所挑出的个体或个体序列的集合）之分对应于个体项的涵义（晨星和暮星的涵义不同）和指称（都指金星）之分。
能行的：可以通过一套程序或指令被动地在有穷时间内对某一问题给出判定
可判定的：可以用一个机械过程对任意公式r和ß能行地判定r推出ß是否成立
集合的大小是否一样是看是否存在集合之间的双射。
一阶逻辑的公式集是可判定的。
等词、量词、联结词的解释独立于结构。
限制：设语言L1包含于L2，A是L1的结构，B是L2的结构，两个结构论域相同，对L中符号解释和赋值都相同，则称A为B的限制
开公式中的自由变元相当于空位。
语义后承关系是否成立与选取何种语言无关。
所有的重言式都是普遍有效式，但普遍有效式不一定是重言式，如公理"任意xß蕴涵ß"就不能变成命题逻辑的重言式。
重复量化可以归约，如任意x存在xß可归约为存在xß。
结构需要用闭公式来刻画（也就是被公式所公理化），即我们可以把一个闭语句或闭语句集的意义看成是它们把那些在其中为真的结构给挑选了出来。所以一阶语言有局限性，无法刻画"有穷"概念即意味着我们找不到一个能把所有有穷结构从所有结构中挑选出来的一阶逻辑的闭语句集。
Peano公理集在二阶语言中唯一地（指Peano公理集刻画出来的结构是同构的，因此它们的语言无法把它们分辨开来，实质上是同一的结构）刻画出算术结构（算术结构：直观上一个其论域为自然数集，有加法和乘法两种函数运算，0是第一个元素，其他元素由0通过"加1"运算生成的结构）。
p153：关于哥德尔定理的意义的解释
极小逻辑：接受归谬法，不接受反证法，不接受直觉主义规则（矛盾推出一切）
直觉主义逻辑：接受归谬法，不接受反证法，接受直觉主义规则
经典逻辑：接受归谬法，接受反证法，接受直觉主义规则
对于形式语言来说，其公式集是可判定的（存在算法通过机械步骤判断符号串是否是公式），其推演集是可判定的（存在算法通过机械步骤判断一个推演过程是否复合推演规则），但是其可推演性是不可判定的（不存在一个算法能通过机械步骤判定是否存在从一个公式到另一个公式的推演序列）。
直觉主义逻辑是经典逻辑的真子系统，经典逻辑是直觉主义逻辑的相对于否定化公式的保守扩张。
直觉主义主张我们不能在正反两个证明或构造都未得到时就无条件断定有或者没有某种东西。"有某种东西"成立意味着我们已经构造出这种东西，但"没有某种东西"成立只代表我们证明了"有某种东西"这个命题矛盾，并不代表我们已经穷尽所有东西而发现没有这种东西存在。