奥数小丛书

作者简介

《数学奥林匹克小丛书(第二版)·高中卷1-集合》，本书前6单元主要介绍集合的基本知识、基本问题以及解决这些问题的一些典型方法，后3个单元介绍由集合派生出来的数学方法的应用。本书是一本竞赛辅导书，也可在高中阶段学习集合时使用。

书籍目录

1 元素与集合
2 集合的运算
3 有限集元素的数目
4 集合的分划
5 子集族
6 集合的性质
7 分类原则
8 极端原理
9 容斥原理
习题解答

内容概要

刘诗雄 华南师大中山附中校长，数学特级教师，数学奥林匹克高级教练，享受国务院政府特殊津贴，获“苏步青数学教育奖”一等奖。长期从事数学教育研究和数学拔尖人才的培养工作，取得了突出成绩，指导的学生曾获第36届
IMO满分。曾长期担任湖北省武钢三中校长，武钢三中为“中国数学奥林匹克协作体核心学校”，已有15人次获国际中学生数学奥林匹克奖牌。主编《高中竞赛数学教程》、《初中数学竞赛跟踪辅导》等数学奥林匹克教材。多次获得湖北省科技进步奖、湖北省科普著作奖。

章节摘录

版权页：   插图：    所以，k∈Aj，j∈Ak.矛盾 考虑一个由元素0、1构成的n×n阶正方形表格，当且仅当j∈A其第i行第j列的元素为1.表中对角线上的元素为0，对于余下的元素，因为i≠j，当且仅当aj=1时aij=0，所以0的个数等于1的个数，因此，表中元素的和为n2—n/2.又每行元素的和大于等于3，所以n2—n≥6n，故n≥7. 例6集合X={1，2，…，6k），k∈N*，试作出X的三元子集族A，满足： （1）X的任一二元子集至少被族A中的一个三元子集包含； （2）/A/=6k2. 解先证明下面的引理： 引理对n∈N*，集合X1={1，2，…，2n）的全部二元子集可分成2n—1组，且每组是X1的一个分划。 引理的证明：如图5—1，将1，2，…，2n—1这2n—1个数按顺时针方向放到一个正2n—1边形的顶点上，数2行放在外接圆圆心。 连结2n与1，作n—2条以2n—1边形顶点为端点且垂直于1与2n连线的线段，便得到X1的n个二元子集构成X1的一个分划，将2n与1的连线依次顺时针旋转2π/2n—1，4π/2n—1，…，（4n—4）π/2n—1，作出相应的图及X1的n个二元子集，这样，X1的全部c22n—n（2n—1）个二元子集被分成2n—1组，且每组n个集合构成X1的一个分划。 下面来作满足题设的子集族： 令A={1，2，…，2k}，B={2k+1，2k+2，…，4k），C={4k+1，4k+2，…，6k），由引理，A的全部二元子集可分成2k—1组，每组是A的一个分划，将其中一组重复一次，得到A的2k个分划，让其中每个分划与B的一个元素搭配作出k个X的三元子集。 类似地，作出8的2k个二元子集构成的分划，包含B的全部二元子集，让其中每个分划与C的一个元素搭配作出k个X的三元子集；作出C的2k个二元子集构成的分划，包含C的全部二元子集，让其中每个分划与A的一个元素搭配作出k个x的三元子集。 上面得到的k×2k×3=6k2个X的三元子集组成的族A满足题设要求。

图书封面

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